הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי/תרגילים

הסתברות המאורע הריק

הראה כי הסתברות המאורע הריק היא 0, כלומר $\mathbb {P} (\varnothing )=0$.

הפתרון

עבור מאורע $A$ כלשהו, $\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (\varnothing \cup A)=\mathbb {P} (\varnothing )+\mathbb {P} (A)$ ,

וזאת משום שהמאורע הריק זר למאורע $A$ ולכן אפשר להפעיל את אקסיומה 3.

פונקציית ההסתברות של קבוצת כדורים בעלי הסתברות הנדסית דועכת

נניח קבוצה אינסופית (בת מניה) של כדורים בעלי מספרים $0,1,2,\dots$ , בה הסיכוי שייבחר הכדור ה- $k$ הוא $\mathbb {P} (k)=pq^{k}$ .

1. מה צריכים לקיים $p$ ו- $q$ כדי שההסתברות תהיה תקינה?
2. מה הסיכוי להגרלת כדור זוגי?

הפתרון

מאקסיומת ההסתברות הראשונה נקבל את הדרישה

$\forall k:0\leq pq^{k}\leq 1$

ומהשניה

$\sum _{k}0\leq pq^{k}=1$

מהדרישה הראשונה נוכל להסיק

$p,q\geq 0$

ומהשניה, בעזרת פיתוח טור הנדסי,

${\frac {p}{1-q}}=1\Rightarrow p=1-q$

אלו התנאים הנדרשים לכך שפונקציית ההסתברות תהיה חוקית.

על-מנת לקבל את ההסתברות להגרלת כדור זוגי, נחשב את הטור המתאים:

$\sum _{k}\left[pq^{2k}\right]={\frac {p}{1-q^{2}}}$

בחירת אנשים מקבוצת גברים ונשים

		הדף נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
		אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.	שיחה

דוגמא זו ממחישה כי כאשר מדובר בבחירה מקרית ובמרחב מדגם סימטרי, ההסתברות מתנהגת כמו פרופורציה. נניח כי בקבוצה $G$ של אנשים יש $M=9$ גברים ו- $W=11$ נשים. מכאן, אחוז הגברים בקבוצה הוא ${\frac {M}{M+W}}=0.45=45\%$ ולכן הסיכוי לבחור מקרית גבר מן הקבוצה הוא 45%. באופן דומה, אחוז הנשים הוא 55%. במקרה הנידון: $\Omega =\{W_{1},W_{2},\dots ,W_{11},M_{1},M_{2},\dots ,M_{9}\}\ ,\ |\Omega |=20$ כך שההסתברות לבחור אדם ספציפי מן הקבוצה היא ${\frac {1}{20}}$ .

נבחן כעת דוגמא אחרת: בוחרים באופן מקרי 3 אנשים מתוך הקבוצה. הבחירה היא ללא חזרות וללא חשיבות לסדר, כי מדובר בבני אדם. נרצה לדעת כמה אפשרויות (צירופים) כאלה קיימות. במקרה זה:

$\Omega =\{(W_{1},W_{2},W_{3}),(W_{1},W_{2},W_{4}),(W_{1},W_{2},W_{5}),\dots ,(W_{1},W_{2},M_{1}),(W_{1},W_{2},M_{2}),\dots$

$(M_{1},M_{2},M_{3}),(M_{1},M_{2},M_{4}),\dots ,(M_{7},M_{8},M_{9})\}$

או בקיצור:

${20 \choose 3}={\frac {20!}{3!17!}}=1140\ ,\ |\Omega |=1140$

1. מה הסיכוי ששלושתם גברים?
   מספר האפשרויות לבחור 3 גברים: ${9 \choose 3}=84$ ולכן $\mathbb {P} (A_{M=3})={\frac {84}{1140}}={\frac {7}{95}}\approx 7\%$ .
   או בקיצור: $\mathbb {P} (A_{M=3})={\frac {9 \choose 3}{20 \choose 3}}={\frac {7}{95}}$ .
2. מה הסיכוי שייבחר אדם ספציפי מתוך ה-3?
   בכך קבענו מראש את אחד האנשים ולכן יש לבחור עוד 2. מספר האפשרויות לבחור 2 אנשים מתוך 20-1=19 הוא ${19 \choose 2}=171$ ולכן $\mathbb {P} (A_{i})={\frac {171}{1140}}=0.15$ .
   דרך אחרת: $\mathbb {P} (A_{i})={\frac {1}{20}}+{\frac {19}{20}}\cdot {\frac {1}{19}}+{\frac {19}{20}}\cdot {\frac {18}{19}}\cdot {\frac {1}{18}}={\frac {3}{20}}=0.15$ .

-

תרגילים

-