הסתברות/התניה של וקטורים אקראיים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

דוגמאות[עריכה]

  • יהי (X,Y) ו"א אי שלילי בעל פונקצית הצפיפות , כאשר c קבוע נרמול חיובי מתאים. מהי ההסתברות ..?
שימו לב כי אין זו צפיפות גאוסית בגלל הגורם הכפלי לפני האקספוננט.
פתרון: התחום הנתון הוא המלבן , וניתן לפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציה ב-x ולפונקציה ב-y, ולכן הם בלתי תלויים ולכן:
כעת נמצא את הקבוע:
כך שבסופו של דבר: .
דרך אחרת: נרצה להשתמש בנוסחה . כמו כן, אם נחשוב קדימה ונזכר בנוסחאות לצפיפות מותנית, נסיק כי אין צורך לחשב את הקבוע c. נחשב תחילה את הצפיפות השולית באמצעות הצפיפות המשותפת:
כעת נציב בנוסחה:
(האם התוצאה מחייבת ש-X בלתי תלוי ב-Y?)
כעת:
שימו לב: יש טעות בדרך שטרם נמצאה. צריך לצאת: .
  • יהי (X,Y,Z) ו"א המפולג באחידות בתחום . מהי התוחלת ..?
פתרון: מדובר בוקטור אחיד שצפיפותו היא מספר קבוע, ולכן נמצא תחילה מספר זה (מעשית, אין בו צורך כי הוא ממילא יצטמצם מאוחר יותר):
כעת, על מנת להשתמש בהגדרת הצפיפות המותנית עבור , יש למצוא תחילה את הצפיפות המשותפת :
שימו לב כי התחום הרלוונטי הוא . נציב בנוסחת הצפיפות המותנית:
לבסוף:
דרך אחרת: בהינתן X,Y מתקבל ש- ולכן .


- התניה של וקטורים אקראיים -