חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

סדרות

גבולות

פונקציות

גבולות של פונקציות

נגזרת

אינטגרציה

טורי טיילור

טור מקלורן

טורים

[עריכה] איחוד (Unification)

נתונות הקבוצות $\ A$ ו- $\ B$ . אז האיחוד ביניהן יסומן כך: $C=A\cup B= \left\{ x|x\in A \vee x\in B \right\}$ , כלומר הקבוצה $\ C$ מורכבת מכל האיברים בקבוצה $\ A$ ומכל האיברים בקבוצה $\ B$ .

נשים לב לשימוש בכָּמַת "או": מספיק שאיבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאיבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות $\ A$ או $\ B$ ) על מנת להיות בקבוצה $\ C$ .
ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: $A\cup B\cup C\cup\cdots$ וכולי. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את כל האיברים של כל הקבוצות.
אם $\ I$ קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם $\ n$ אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות $\ A_i$ (כלומר $\ A$ עם אינדקס $\ i$ ) באופן הבא:

$A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup A_{i_3}\cup\cdots\cup A_{i_n} =\cup_{i\in I} A_i$ .

עבור $C=A\cup B$ , מתקיים: $C\supseteq A$ וגם $C\supseteq B$ .
לכל קבוצה $\ A$ , מתקיים: $A=A\cup\empty$ , $A=A\cup A$ .
דוגמה: נתון $\ A= \left\{ 1,2,3 \right\}$ , $\ B= \left\{ 2,3,4 \right\}$ . אזי: $A\cup B=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$ .
דוגמה נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים $\mathbb{Z}$ נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\ -\mathbb{N}$ , כאשר $-\mathbb{N}$ פירושו: $-\mathbb{N}=\left\{ -1\times n|n\in \mathbb{N}\right\}$ .

[עריכה] חיתוך (Intersection)

נתונות הקבוצות $\ A$ ו- $\ B$ . החיתוך ביניהן יסומן כך: $C=A\cap B= \left\{ x|x\in A \wedge x\in B \right\}$ , כלומר הקבוצה $\ C$ מורכבת מהאיברים שנמצאים גם בקבוצה $\ A$ וגם בקבוצה $\ B$ .

נשים לב לשימוש בכָּמַת "וגם": על איבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה $\ A$ והן לקבוצה $\ B$ על מנת להיות בקבוצה $\ C$ .
ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: $A\cap B\cap C\cap \cdots$ . ואז, הקבוצה החדשה תכיל רק את האיברים המשותפים לכל הקבוצות.
אם $\ I$ קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם $\ n$ אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות $\ A_i$ (כלומר $\ A$ עם אינדקס $\ i$ ) באופן הבא:

$\ A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}\cap\cdots\cap A_{i_n} =\cap_{i\in I} A_i$ .

עבור $C=A\cap B$ , מתקיים: $C\subseteq A$ וגם $C\subseteq B$ .
לכל קבוצה $\ A$ , מתקיים: $A\cap\empty =\empty$ , $A\cap A=A$ .
דוגמה: נתון $\ A=\left\{ 1,2,3 \right\}$ , $\ B=\left\{ 2,3,4 \right\}$ . אזי: $A\cap B=\left\{ 2,3 \right\}$ .

[עריכה] חיסור בין קבוצות

לכל שתי קבוצות $\ A$ , $\ B$ נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: $C=A-B=A\backslash B= \left\{ x\in A|x\not\in B \right\}$ כלומר, הקבוצה $\ C$ מכילה את כל איברי $\ A$ שאינם נמצאים בקבוצה $\ B$ .

עבור $\ C=A \backslash B$ , מתקיים: $C\subseteq A$ .
לכל קבוצה $\ A$ , מתקיים: $A=A\backslash\empty$ .
דוגמה: נתון: $A= \left\{ 2,3,4 \right\}$ , $B= \left\{ 1,2,3 \right\}$ . אזי: $A\backslash B=\left\{4\right\}$ .
חשוב: לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות $\ \backslash$ לבין הסימן $\ /$ (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן משנה. כלומר, מתקיים: $\ A\cup B=B\cup A$ , וכן $\ A\cap B=B\cap A$ . לעומת זאת, לרוב $\ A\backslash B\ne B\backslash A$ .

[עריכה] שיוויון בין קבוצות

מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של איברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האיברים שלהן. כלומר, הביטוי " $\ A=B$ " ייכתב באופן הבא: $x\in A \Leftrightarrow x\in B$ .

דוגמה חשובה: נתונות הקבוצות $\ A= \left\{ 1,2,2 \right\}$ ו- $\ B= \left\{ 1,2 \right\}$ . אזי: $\ B=A$ . (ודאו שהנכם מבינים מדוע)
לכל קבוצה $\ A$ מתקיים: $\ A=A$ (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: $x\in A \Leftrightarrow x\in A$ .
תכונת הטרנזיטיביות: $\left( A=B \right) \wedge \left( B=C \right) \Rightarrow \left( A=C \right)$ . תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הינה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".