חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

סדרות

גבולות

פונקציות

גבולות של פונקציות

נגזרת

אינטגרציה

טורי טיילור

טור מקלורן

טורים

[עריכה] הגדרה

בר מניה: קבוצה תקרא בת מניה אם ניתן למספר את אבריה באמצעות המספרים הטבעיים. כלומר, לכל איבר בקבוצה נתאים מספר טבעי כך שאין שני איברים עם אותו מספר, ולכל מספר טבעי קיים איבר שקיבל מספר זה. נשים לב כי על פי הגדרה זו קבוצות סופיות אינן יכולות להיות בנות מניה, כי יש אינסוף מספרים טבעיים ולכן תמיד יהיה מספר שלא ניתן לאף אחד מאברי הקבוצה. לפעמים מרחיבים את ההגדרה ואומרים כי קבוצה בת מניה היא קבוצה סופית או כזו שניתן למספר את איבריה בצורה שתוארה לעיל.

בלשון פורמלית יותר של תורת הקבוצות, קבוצה היא בת מניה אם קיימת פונקציה חד חד ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים אליה.

הדרך הנוחה ביותר להדגים התאמה בין קבוצה למספרים הטבעיים היא על ידי סידור אברי הקבוצה בסדרה. במקרה הזה האיבר הראשון בסדרה מותאם למספר 1, השני למספר 2 וכן הלאה.

ניתן לחשוב על קבוצה בת מניה באופן הבא: ניתן לסדרה בצורה כזו כך שאם ניקח איבר בקבוצה, אז קיים בקבוצה איבר מסויים שהוא האיבר הבא אחריו, וקיים בקבוצה איבר מסויים שהוא האיבר הקודם לו. אם לא קיים אחד מאלה, הרי שאפשר להגיד על איבר מסויים זה שהוא ה"אחרון" בקבוצה או ה"ראשון" בה. עם זאת, יש לשים לב כי קיימות גם קבוצות שאינן בנות מניה וניתן לסדרן בצורה כזו, ולכן הדגמה של סידור שכזה אינה מוכיחה שקבוצה היא בת מניה.

[עריכה] דוגמאות

$\mathbb{N}$ הינה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: $\ 1,2,3,4,5,\cdots$ .
$\mathbb{Z}$ הינה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: $\ 0,1,-1,2,-2,\dots$ . כאן התאמנו למקום מספר $\ n$ בסדרה את המספר השלם $\ (-1)^n\cdot\left[\frac{n}{2}\right]$
אם $\ A$ ו- $\ B$ הן קבוצות בנות-מניה, אז גם $\ A \cup B$ הינה בת-מניה. נדגים זאת: אברי $\ A$ מסודרים בסדרה $\ a_1,a_2,a_3,\dots$ ואברי $\ B$ בסדרה $\ b_1,b_2,b_3,\dots$ ולכן עבור $\ A\cup B$ נבנה את הסדרה $\ a_1,b_1,a_2,b_2,\dots$ . כלומר, למקומות האי זוגיים בסדרה החדשה התאמנו את אברי $\ A$ ולמקומות הזוגיים את אברי $\ B$ .