חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול אינסופי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | גבולות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

סדרות

גבולות

פונקציות

גבולות של פונקציות

נגזרת

אינטגרציה

טורי טיילור

טור מקלורן

טורים

עד עתה עסקנו אך ורק בסדרות המתכנסות לגבול סופי, אך כפי שכבר ראינו בתחילת הפרק קיימות סדרות שאינן מתכנסות למספר מסויים - אלא הולכות וגדלות יותר ויותר. גם לסדרות כאלו נרצה להגדיר גבול, ובמקרה שהסדרה אכן הולכת וגדלה (כמו הסדרה $\ a_n = n$ ), ולא "מתנדנדת" למשל בין שני ערכים (כמו $\ a_n = -1^n$ נגיד שהיא מתכנסת לאינסוף. אך כיוון שאנחנו עוסקים בתחום מתמטי דרושה לנו הגדרה חד משמעית שתבטיח שזה אכן המצב, ונוכל לבדוק על פיה גם סדרות מורכבות יותר, במקרה כזה הגדרה באמצעות $\ L$ ו- $\varepsilon$ לא תהיה יעילה, כי האינסוף הוא מושג - ולא מספר. ולכן הגדרת הגבול האינסופי היא שונה במעט -

הגדרה:

תהי $\ \left\{a_n \right\}_{n=1}^\infty$ סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל $\ M \in \mathbb {R}$ קיים $\ N$ כל שלכל $\ n> N$ מתקיים $\ a_n > M$ אזי נאמר שהסדרה $\ \left\{a_n \right\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת לאינסוף, ונסמן $\ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty$

תהי $\ \left\{a_n \right\}_{n=1}^\infty$ סדרה של מספרים ממשיים, אם לכל $\ M \in \mathbb {R}$ קיים $\ N$ כל שלכל $\ n> N$ מתקיים $\ a_n < M$ אזי נאמר שהסדרה $\ \left\{a_n \right\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת למינוס אינסוף, ונסמן $\ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$