חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | גבולות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

סדרות

גבולות

הגדרת הגבול
משפטים בסיסיים
אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ
גבול אינסופי
גבול חלקי
המספר e

פונקציות

גבולות של פונקציות

נגזרת

אינטגרציה

טורי טיילור

טור מקלורן

טורים

משפט: אריתמטיקה של גבולות

יהיו $\ a_n , b_n$ שתי סדרות מתכנסות $\ \lim_{n \to \infty} a_n = A, \lim_{n \to \infty} b_n = B$ אזי -

לכל מספר ממשי $\ c \in R$ מתקיים - $\ \lim_{n \to \infty} c a_n = c A$
$\ \lim_{n \to \infty} \left( a_n + b_n \right) = A + B$
$\ \lim_{n \to \infty} \left( a_n - b_n \right) = A - B$
$\ \lim_{n \to \infty} \left( a_n * b_n \right) = A * B$
אם $\ b_n \ne 0 , B \ne 0$ אזי $\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$

הוכחה:

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

מהגדרת הגבול, $\forall_{\epsilon > 0}\exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert a_n - A \vert < \epsilon$
$\forall_{\epsilon > 0}\exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert b_n - B \vert < \epsilon$

אם $\displaystyle c = 0$ , אז הטענה נכונה טריביאלית. אחרת, ניקח $\displaystyle \epsilon' = \epsilon / c$ . אז עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה לא מוכרת\A): \exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert a_n - A \vert < \epsilon' \Rightarrow \exists_{N}\forall_{n \ge N}c \ \vert a_n - A \vert < \epsilon \Rightarrow \exists_{N}\forall_{n \ge N} \vert c \ a_n - c \A \vert < \epsilon

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

נובע משילוב שתי הנקודות הקודמות עם $\displaystyle c = -1$ בנקודה הראשונה.

[עריכה] כלל הסנדוויץ

משפט:

אם $\ \lim_{n \to \infty} a_n = L$ ומתקיים $\ a_n \ge 0$ לכל $\ n$ טבעי אזי $\ L \ge 0$

הוכחה:

משפט:

יהיו $\ a_n , b_n$ שתי סדרות מתכנסות $\ \lim_{n \to \infty} a_n = A, \lim_{n \to \infty} b_n = B$ אם $\ a_n \ge b_n$ לכל $\ n$ טבעי אזי $\ A \ge B$

הוכחה:

משפט: כלל הסנדוויץ

יהיו $\ a_n , b_n, c_n$ שלוש סדרות, אם $\ a_n \le b_n \le c_n$ לכל $\ n$ טבעי, ומתקיים $\ \lim_{n \to \infty} a_n = L, \lim_{n \to \infty} c_n = L,$ אזי גם $\ \lim_{n \to \infty} b_n = L$