חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | גבולות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

סדרות

גבולות

פונקציות

גבולות של פונקציות

נגזרת

אינטגרציה

טורי טיילור

טור מקלורן

טורים

הגדרה:

מספר ממשי $\ L$ ייקרא הגבול של סדרה $\ a_n$ אם בכל סביבה של $\ L$ נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים

ומסומן $\ \lim_{n \to \infty}a_n = L$ או $\ a_n \to L$

אם הגבול $\ L$ קיים וסופי נאמר שהסדרה $\ a_n$ מתכנסת לגבול $\ L$ , אם לא קיים מספר $\ L$ סופי כזה נאמר שהסדרה מתבדרת

הגדרת הגבול אכן פורמלית למדי, אך היא מבוססת על הגיון מתמטי - ואינה סתומה כפי שהיא אולי נראית בתחילה.

ראשית ניזכר בהגדרה של סביבה, סביבה היא קטע פתוח סימטרי סביב נקודה מסויימת. למשל - סביבה בגודל $\varepsilon$ של $\ L$ מוגדרת על ידי הקטע $\ \left( L - \varepsilon , L + \varepsilon \right)$ , כלומר קבוצת כל המספרים שההפרש בינם לבין $\ L$ קטן מ- $\varepsilon$ . ההגדרת מדברת על כל סביבה של $\ L$ , ומכיוון שלא מוגדרת סביבה בגודל אפס הרי שהכוונה היא לכל סביבה כך ש- $\ \varepsilon > 0$ . ההגדרה דורשת כי בכל סביבה כזו יהיו מרוכזים כל אברי הסדרה, אך מתירה לנו להשאיר מספר איברים סופי מחוץ לסביבה, תנאי זה מבטיח שהסדרה אכן מתקרבת ל- $\ L$ - אבל מדוע? כדי לענות על שאלה זו נסתכל על מספר סדרות שאינן מתכנסות -

$\ 1,2,3,\dots$ - ניתן לראות בבירור שהסדרה הזו איננה מתקרבת למספר מסויים, אלא הולכת וגדלה בקצב קבוע. אך לצורך הדוגמא נניח כי אנחנו חושבים שהסדרה מתכנסת למספר גדול, נניח - $\ 1000000$ , עכשיו נבחן את הסדרה על פי ההגדרה - האם בכל סביבה של $\ 1000000$ נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים? נתחיל מסביבה בגודל 1, כלומר טווח המספרים בין $\ 999999$ ל- $\ 1000001$ . נראה שכל האיברים עד האיבר ה- $\ 1000000$ נמצאים מחוץ לסביבה שבחרנו, אבל זה עדיין לא מפריע לנו, כי מדובר בסך הכל ב $\ 999999$ איברים - וזהו מספר סופי, האיבר המליון, $\ a_{1000000}$ שווה בדיוק $\ 1000000$ והוא נמצא בסביבה, אך כל המספרים הבאים אחריו כבר גדולים מדי - ולא נמצאים בסביבה, וכיוון שאחרי המספר $\ 1000000$ קיימים עוד אינסוף איברים בסדרה.

קיימת סביבה של $\ 1000000$ שמחוץ לה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה - ולכן הסדרה לא מתכנסת למליון. הדוגמא הזו אמנם נראית טפשית - אך חשוב להבין אותה ואת הלוגיקה שבה פעלנו כדי להוכיח ש- $\ 1000000$ אינו הגבול של הסדרה, כיוון שאותה הלוגיקה תשמש אותנו בהמשך לדוגמאות מסובכות בהרבה. באותה צורה ניתן לבחור במקום $\ 1000000$ כל מספר ממשי שנרצה, ולבצע את אותה ההוכחה - לכן הסדרה שלפנינו אינה מתכנסת (למעשה היא מתכנסת לאינסוף, אך טרם הגדרנו גבול אינסופי).

$\ 1,0,1,0,\dots$ בסדרה זו כל איבר אי זוגי הוא 1, וכל איבר זוגי הוא 0. כיוון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על פי ההגדרה הסדרה מתכנסת לאפס, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה ( $\ a_2 = a_4 = \dots = a_2n = 0$ ) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל $\ 1/2$ , כלומר טווח המספרים שבין $\ 1/2$ ל- $\ -1/2$ , נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי זוגיים שערכם $\ 1$ .

הסדרה לא מתכנסת לאפס - אך אולי היא מתכנסת למספר אחר? בהינתן מספר $\ L \ne 0$ ניקח סביבה בגודל $\ L/2$ , זו היא הסביבה $\ \left( L/2 , 3L/2 \right)$ ויש אינסוף איברים (כל האיברים האי זוגיים, אלו שערכם אפס) שנמצאים מחוץ לסביבה זו - כלומר הסדרה לא מתכנסת לאפס, אך גם לא מתכנסת לאף מספר השונה מאפס - ולכן ניתן לומר שהסדרה $\ 1,0,1,0,\dots$ אינה מתכנסת.

ראינו איך ניתן להראות מהגדרת הגבול כי סדרות מסויימות אינן מתכנסות לגבול, אך קשה יותר להראות באמצעות ההגדרה כי סדרה מסויימת מתכנסת, על מנת לעשות זאת נשתמש בניסוח שונה מעט של הגדרת הגבול -

הגדרה:

הגבול של סדרה, $\ L = \lim_{n \to \infty}a_n$ קיים אם לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים מספר $\ N$ ממשי, כך שלכל $\ n > N$ מתקיים - $\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon$

הגדרה זו שקולה להגדרת הגבול. בהגדרה המקורית נדרש כי לכל סביבה של $\ L$ יהיו כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים. בהגדרה זו הסביבה מוגדרת במפורש על ידי $\varepsilon$ , ונדרש שהחל מ- $\ N$ מסויים כל אברי הסדרה יהיו בסביבה זו. לכן קיימים לכל היותר $\ N$ איברים שאינם נמצאים בסביבה הרצויה, ומכיוון שההגדרה דורשת קיומו של $\ N$ כזה מספרם הוא סופי. נראה כי הדרישה כי $\ a_n$ יהיה בסביבה $\ \varepsilon$ של $\ L$ זהה לדרישה כי $\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon$

$\ L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon$

$\ - \varepsilon < a_n - L < \varepsilon$

$\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon$

כעת נבחן מספר סדרות המתכנסות לגבול -

$\ 0,0,0,\dots$ - זו היא סדרה שבה $\ a_n = 0$ ללא תלות ב- $\ n$ , כלומר סדרה שבה יש אינסוף אפסים. זה בהחלט נראה מובן מאליו שהסדרה הזו שאופת לאפס, אך אנחנו עדיין צריכים להוכיח. נוכיח שגבול הסדרה הוא $\ 0$ - לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ N = 0$ כך שלכל $\ n > N$ יתקיים -

$\ a_n - 0 < \varepsilon$

למעשה פשוט חזרנו על הגדרת הגבול, כאשר בשלב האחרון הראנו כי על פי הגדרת הסדרה $\ a_n = 0$ ועל פי הגדרת אפסילון מתקיים $\ \varepsilon > 0$ ומכאן נובע שהגדרת הגבול מתקיימת עבור $\ L = 0$ - כלומר הסדרה מתכנסת ל- $\ 0$ .

$\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$ . זוהי הסדרה עם האיבר הכללי $\ a_n=\frac{1}{n}$

כפי שכבר ציינו בתחילת הפרק גם הסדרה הזו מתכנסת לאפס, וגם זה כנראה ברור באופן אינטואיטיבי - אך ההוכחה כאן מתקדמת צעד אחד קדימה. לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ N = \frac{1}{\varepsilon}$ כך שלכל $\ n > N$ יתקיים -

$\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} = \varepsilon$

כלומר - $\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon$ ולכן הסדרה מתכנסת לאפס.

הרעיון החדש בהוכחה זו היא הצורה שבה בחרנו את $\ N$ - שימו לב ש- $\ N$ תלוי ב- $\ \varepsilon$ (כלומר $\ N$ הוא פונקציה של $\ \varepsilon$ , ולכן לעיתים מסומן $\ N_( \varepsilon )$ ).

שימו לב:

מותר לבחור את $\ N$ כפונקציה של $\ \varepsilon$ בגלל האופן שבו מנוסחת הגדרת ההתכנסות - "לכל $\ \varepsilon$ קיים $\ N$ ..."

אילו ההגדרה הייתה מנוסחת "קיים $\ N$ כך שלכל $\ \varepsilon$ ..." היה עלינו להגדיר $\ N$ שאינו תלוי ב- $\ \varepsilon$

בעמוד זה הצגנו את מושג הגבול באופן כללי, הגדרנו את הגבול באופן פורמלי והצגנו דוגמאות בסיסיות לסדרות מתבדרות ומתכנסות. כפי שציינו בתחילת הפרק ההגדרה של מושג הגבול אינה אינטואיטיבית ופעמים רבות מהווה מכשול בלימודי החשבון האינפיניטסימלי, מומלץ לעבור שוב על ההגדרה, הדוגמאות ובמיוחד על האופן שבו השתמשנו בהם לפני שממשיכים לתת הפרק הבא, שכן הוא מבוסס על ההגדרה וייתן לנו כלים נוספים לנתח התכנסות של סדרות.

[עריכה] הגדרת הגבול לפי קושי

משפט: קריטריון קושי להתכנסות

סדרה $\ \left\{a_n \right\}$ מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ N$ כך שלכל $\ n_1 , n_2 > N$ יתקיים - $\ \left| a_{n_1} - a_{n_2} \right| < \varepsilon$

הוכחה: כיוון אחד

נתון - $\ \lim_{n \to \infty} a_n = L$

צ"ל - לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ N$ כך שלכל $\ n_1 , n_2 > N$ יתקיים - $\ \left| a_{n_1} - a_{n_2} \right| < \varepsilon$

$\ \lim_{n \to \infty} a_n = L$ אזי לכל $\ \varepsilon > 0$ , ובפרט לכל $\ \varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2} >0$ קיים $\ N$ כך שלכל $\ n > N$ מתקיים $\ \left|a_n - L\right| < \varepsilon$ אזי לכל $\ n_1, n_2 > N$ מתקיים -

עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex, את dvips, את gs ואת convert.): \ \left|a_n_1 - a_n_2\right| = \left|a_n_1 - L + L - a_n_2\right| le \left|a_n_1 - L\right| + \left|L - a_n_2\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

כיוון שני

[עריכה] התבדרות של סדרה

-

הגדרת הגבול

-

חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] הגדרת הגבול לפי קושי

[עריכה] התבדרות של סדרה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא