חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חשבון אינפיניטסימלי

מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

סדרות

גבולות

פונקציות

גבולות של פונקציות

נגזרת

אינטגרציה

טורי טיילור

טור מקלורן

טורים

ניזכר בהגדרת קבוצת המספרים הרציונליים: $\mathbb{Q} =\left\{ \frac{p}{q} |p,q\in\mathbb{Z} \wedge q\ne 0 \right\}$ . כזכור, מספר יקרא "רציונלי" אם הוא שייך לקבוצה זו.
הגדרה: עבור מספרים שלמים $\ n$ ו- $\ k$ , נגיד ש- " $\ k$ מחלק את $\ n$ ", אם קיים מספר שלם $\ l$ המקיים: $\ n=l\times k$ . סימון: $\ k|n$ . כעת נכתוב שוב את ההגדרה, בכתיב של תורת הקבוצות:

$\ k|n \Leftrightarrow \exists l\in\mathbb{Z} : l\times k=n$ .

שימו לב, שכאן השתמשנו בסימן " $\ :$ " עבור הביטוי "כך ש", על מנת לא להתבלבל בינו ובין סימן ה" $\ |$ " עבור הביטוי "מחלק את". כמו כן, השתמשנו בסימן $\Leftrightarrow$ , על מנת להראות את השקילות בין הסימון לבין ההגדרה.

הגדרה: מספרים זרים: נתונים שני מספרים שלמים $\ n$ ו- $\ m$ . אם אין להם אף גורם (מחלק) משותף, נגיד שהם זרים. כלומר, אם: $\left( k|m \wedge k|n \right) \Rightarrow k=1$ .
הגדרה: כידוע, ההצגה של מספר רציונלי היא לא יחידה, למשל: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{31}{62}$ וכולי. לכן, נולד הצורך בהגדרת שבר מצומצם: המספר $\frac{p}{q}$ (עבור $\ p,q$ שלמים ו- $q\ne 0$ ) יקרא שבר מצומצם, אם $\ p$ ו- $\ q$ מספרים זרים.

[עריכה] טענה: $\sqrt{2}$ אינו רציונלי.

[עריכה] הקדמה

הגדרה: מספר $\ x$ יקרא אי רציונלי אם $\ x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ . במילים אחרות, אם לא קיימים $\ p,q\in\mathbb{Z}$ כך שניתן לרשום $\ x=\frac{p}{q}$ . טענה זו נראית אולי סתמית למדי במבט ראשון, אך למעשה חשיבותה עצומה. שכן, עד כה הסברנו אמנם מהו מספר שאינו רציונלי, אך לא הראינו שקיים כזה.
האגדה מספרת על כת הפיתגוראים ביוון העתיקה, שהאמינו במספרים ועבדו אותם. המספרים היו, בעיניהם, מושלמים. יום אחד, גילה אחד מתלמידיו של פיתגורס כי קיים מספר שאינו רציונלי, הלא הוא $\ \sqrt{2}$ ידידינו. הגילוי חולל סערה גדולה, שהרי כיצד ייתכן שבין המספרים המושלמים, שהיו שקולים לאלים, קיים מספר שאינו מושלם, כלומר אינו רציונלי? באורח פלא, זמן קצר לאחר תגלית זו נטרפה ספינתו של המגלה, ומבחינת הפיתגוראים היתה זו הוכחה לכך שהאלים נקמו את נקמתם. זאת, כמובן, אם מאמינים שהספינה אכן נטרפה בים דרך מקרה.... ונחזור למתמטיקה.
טענה: המספר $\ \sqrt{2}$ אינו רציונלי, כלומר $\ \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$ .
הוכחה: לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):

[עריכה] למת עזר: אם $\ n^2$ זוגי, אזי: $\ n$ זוגי.

הוכחת הלמה:
יהא $\ n$ מספר זוגי כלשהו, אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: $\ n=2\times k$ , כאשר $\ k\in\mathbb{Z}$ . ואז: $\ n^2 =\left( 2k \right) ^2 =4k^2$ , וכמובן ש- $\ 4k^2$ הוא מספר זוגי.
יהא כעת $\ n$ מספר אי-זוגי כלשהו. אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: $\ n=2k+1$ , כאשר $\ k\in\mathbb{Z}$ . ואז נקבל: $\ n^2 = \left( 2k+1 \right) ^2 = \underbrace{ 4k^2 }_{(*)} + \underbrace{ 4k }_{(*)} +1=(**)$
כל אחד מהביטויים (*) הוא זוגי, לכן סכומם זוגי. נוסיף להם $\ 1$ , ונקבל שהביטוי (**) הוא אי זוגי. לכן, האפשרות היחידה עבור מספר $\ n^2$ כלשהו להיות זוגי, הוא אם $\ n$ עצמו זוגי. ▪

[עריכה] הוכחת הטענה

הוכחה: נניח בשלילה כי $\ \sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ , כלומר רציונלי, ונגיע לסתירה:
$\ \Leftarrow \sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ ניתן לכתוב את $\sqrt{2}$ כשבר מצומצם (מהגדרת $\ \mathbb{Q}$ ), כלומר: $\ \sqrt{2} = \frac{m}{n} \left( * \right)$ עבור $\ m,n$ שלמים כלשהם.
נעלה כעת את הביטוי (*) בריבוע. נקבל: $\ \left( \sqrt{2} \right) ^2 = 2=\left( \frac{m}{n} \right) ^2 =\frac{m^2}{n^2}$ . $\ (**) 2n^2 = m^2 \Leftarrow$ $\ m^2 \Leftarrow$ מספר זוגי $\ m \Leftarrow$ מספר זוגי (לפי הלמה) $\ \Leftarrow$ נוכל לכתוב: $\ m=2p$ (עבור $p\in\mathbb{Z}$ מסויים).
כעת, נרשום את הביטוי האחרון (**) באופן הבא: $\ 2n^2 =m^2 = \left( 2p \right) ^2 =4p^2$ $\ \not 2 n^2 =_2\not 4 p^2\Leftarrow$ $\ n^2 = 2p^2 \Leftarrow$ $\ n^2 \Leftarrow$ מספר זוגי $\ n \Leftarrow$ מספר זוגי! (לפי הלמה).
אבל: הסקנו מוקדם יותר ש- $\ m$ הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- $\ n$ הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- $\ \frac{m}{n}$ שבר מצומצם! $\ \sqrt 2 \Leftarrow$ אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה. ▪

[עריכה] הקבוצות $\mathbb{R}$ ו- $\mathbb{Q}$ : תכונות והבדלים

[עריכה] הקדמה

כזכור, $\ \mathbb{Q}$ הינה קבוצת המספרים הרציונליים, ו- $\ \mathbb{R}$ הינה קבוצת המספרים הממשיים, או "כל המספרים". נגדיר כעת את קבוצת המספרים האי-רציונלים: $\ \mathbb{R} \backslash\mathbb{Q} = \left\{ x|x\in\mathbb{R} \wedge x\not\in\mathbb{Q} \right\}$ . אז כמו שהוכחנו למעלה, $\ \sqrt{2}$ שייך לקבוצה זו, כלומר $\ \sqrt{2} \in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q}$ .
הגדרה: פונקצית הערך השלם $\ \left[ x \right]$ = המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה למספר $\ x$ . יש המסמנים: $\ \lfloor x \rfloor$ , על מנת להדגיש את העובדה שמדובר במספר שהוא קטן מ- $\ x$ (או שווה לו).
דוגמאות: $\ \left[ 2.32 \right] = 2, \left[ -2.32 \right] =-3, \left[ 2.9999 \right] =2, \left[ 2 \right] =2, \left[ -5.43 \right] = -6$ .
מתקיים: $\ \left[ x \right] \le x \le \left[ x+1 \right]$ .

[עריכה] משפט: צפיפות המספרים הרציונלים והאי-רציונליים

משפט: בין כל שני מספרים שונים קיים מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי.
למת עזר: נתון $\ c>0$ כלשהו.

אזי: קיים $\ n\in\mathbb{N}$ , כך ש- $\ 0<\frac{1}{n} <c$ .
טענת הלמה בכתיב מתמטי: $\ \left( \forall \left( c>o \right) \in \mathbb{R} \right) \left( \exists n\in\mathbb{N} \right) | 0<\frac{1}{n} <c$ .
הוכחת הלמה: נתון $\ c\in\mathbb{R} ^+$ כלשהו, ונגדיר עבורו את המספר הבא: $\ n= \left[ \frac{1}{c} \right] +1$ . נתון ש- $\ c>0$ , לכן $\ \left[ \frac{1}{c} +1 \right]$ הוא שלם חיובי $\ n\in\mathbb{N} \Leftarrow$ .
מתקיים: $\ \frac{1}{c} <\left[ \frac{1}{c} \right] +1=n$ $\ \frac{1}{c} <n \Leftarrow$ $\ \frac{1}{n} <c \Leftarrow$ .

תרשים להמחשה - הנקודות הנ"ל על ציר המספרים

נזכור ש- $\ c$ היה מספר חיובי כלשהו, לכן קיבלנו שלכל $\ c$ כנ"ל קיים $\ n\in\mathbb{N}$ כנדרש, והטענה הוכחה. ▪

נעבור כעת להוכחת המשפט:
נתונים לנו שני מספרים $\ a,b$ כך ש- $\ a<b$ , ונוכיח שקיים ביניהם גם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:
נבחר $\ n\in\mathbb{R}$ המקיים: $\ 0<\frac{1}{n} <b-a$ (קיים כזה לפי הלמה).
נבחר $\ m\in\mathbb{Z}$ , כך ש- $\ m$ הוא השלם הקטן ביותר המקיים: $\ a<\frac{m}{n}$ (*), כלומר כך שמתקיים: $\ \frac{m-1}{n} <a< \frac{m}{n}$ . ונרשום: $\ \frac{m}{n} = \frac{m}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{m-1}{n} + \frac{1}{n}$ . מתקיים:
$\ \left\{ \begin{matrix} \frac{m-1}{n} <a \\ \frac{1}{n} <b-a \end{matrix} \right. \Rightarrow \frac{m-1}{n} + \frac{1}{n} <a+(b-a) =b \Rightarrow \frac{m}{n} <b$

(ביחד עם (*) מתחילת ההוכחה) $\ a<\frac{m}{n}<b \Leftarrow$ ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.

על מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזר על התהליך, רק עם $\ \frac{\sqrt{2}}{n}$ במקום $\ \frac{1}{n}$ : נבחר $\ n$ כך שיתקיים: $\ 0<\frac{\sqrt{2}}{n} <b-a$ . קיים $\ n$ כזה, משום שלפי הלמה קיים $\ n$ המקיים $\ 0<\frac{1}{n} <c$ לכל $\ c$ , לכן גם עבור $\ c= \frac{b-a}{\sqrt{2}}$ . ואז: $\ 0<\frac{1}{n}<\frac{b-a}{\sqrt{2}}$ $\ 0<\frac{\sqrt{2}}{n}<{b-a} \Leftarrow$ .
ושוב: נבחר $\ m\in\mathbb{N}$ כך ש- $\ \frac{\sqrt{2}(m-1)}{n} <a< \frac{\sqrt{2} m}{n}$ וכולי... והטענה הוכחה. ▪

[עריכה] הערות ותוספות

הערות:

הציור המצורף להוכחה, כמו גם הציור שבהוכחת הלמה, נראים לכאורה פשוטים, ועל פניו אין בהם צורך. עם זאת, הניסיון מלמד כי גם במקרים בהם הציורים נראים פשוטים, עדיין מוטב להשתמש בהם על מנת להגיע להבנה טובה יותר של החומר. הדבר חשוב במיוחד בהוכחות. בכלל, הוכחות הן לב-ליבה של המתמטיקה, ומי שמבין אותן על בורין ידע מתמטיקה היטב.
נשים לב, שבניסוח המשפט למעלה כתוב "בין כל שני מספרים שונים", ואילו בהוכחה עצמה נתנו להם שמות ( $\ a$ ו- $\ b$ ), ואף טענו ש- $\ a<b$ . על סמך מה טענו זאת?

הבה נבדוק: נניח שהיינו חוזרים על ההוכחה עבור $\ b<a$ . האם מהלך ההוכחה היה שונה? האם המסקנה (שהמשפט אכן מתקיים) היה שונה? התשובה לכך היא לא ולא. ומדוע? משום שבמקרה זה, $\ a$ ו- $\ b$ הם מספרים כללים כלשהם, ולא הוטלו עליהם כל הגבלות. לכן, מותר לנו להניח ש- $\ a<b$ , והנחה זו אינה גורעת מכלליות המספרים.

במקרה כזה, נהוג לכתוב: "נניח בלי הגבלת הכלליות ש- $\ a<b$ ", או בקיצור - בה"כ. ביטוי זה משמש תמיד לציין שאנחנו מניחים הנחה נוספת מבלי שנקטין את קבוצת המקרים שבהם אנחנו מטפלים.

דוגמה נוספת לשימוש בביטוי בה"כ: נניח שנתונה לנו קבוצה של מספרים $\left\{ x_1, x_2, x_3, \cdots ,x_n \right\}$ , וידוע לנו שאחד מה- $\ x$ -ים (כלומר מהמספרים) הוא זוגי. אז ברור שאין שום חשיבות לאינדקס של אותו ה- $\ x$ (זה יכול להיות $\ x_1, x_2, x_{17}, x_{225}$ וכולי). לכן, במקרה זה מותר לנו לכתוב "נניח בה"כ ש- $\ x_1$ זוגי".

הגדרה: נתונות שתי קבוצות מספרים כלשהן $\ A,B$ . קבוצה $\ A$ תקרא "צפופה (dense) ב- $\ B$ ", אם בין כל שניים מאיברי $\ B$ קיים איבר השייך לקבוצה $\ A$ .
מסקנה: המספרים הרציונלים/האי-רציונלים צפופים (dense) ב- $\mathbb{R}$ .
מסקנה מהמשפט: בין כל שני מספרים שונים כלשהם, קיימים אינסוף מספרים רציונלים ואינסוף מספרים אי-רציונלים.

חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] טענה: $\sqrt{2}$ אינו רציונלי.

[עריכה] הקדמה

[עריכה] למת עזר: אם $\ n^2$ זוגי, אזי: $\ n$ זוגי.

[עריכה] הוכחת הטענה

[עריכה] הקבוצות $\mathbb{R}$ ו- $\mathbb{Q}$ : תכונות והבדלים

[עריכה] הקדמה

[עריכה] משפט: צפיפות המספרים הרציונלים והאי-רציונליים

[עריכה] הערות ותוספות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא

חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] טענה: אינו רציונלי.

[עריכה] הקדמה

[עריכה] למת עזר: אם זוגי, אזי: זוגי.

[עריכה] הוכחת הטענה

[עריכה] הקבוצות ו- : תכונות והבדלים

[עריכה] הקדמה

[עריכה] משפט: צפיפות המספרים הרציונלים והאי-רציונליים

[עריכה] הערות ותוספות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא

[עריכה] טענה: $\sqrt{2}$ אינו רציונלי.

[עריכה] למת עזר: אם $\ n^2$ זוגי, אזי: $\ n$ זוגי.

[עריכה] הקבוצות $\mathbb{R}$ ו- $\mathbb{Q}$ : תכונות והבדלים