חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פונקציות

פונקציה הינה התאמה של איברים מקבוצה הנקראת "תחום הגדרת הפונקציה" (או בקיצור: תחום) לקבוצה הנקראת "תמונת הפונקציה" (או בקיצור: תמונה). במילים אחרות, התחום הינו קבוצת כל האיברים עליהם ניתן להפעיל את הפונקציה (כלומר כל האיברים שהפונקציה יכולה לקבל), והתמונה הינה קבוצת כל הערכים שיכולים להתקבל כתוצאה מהפעלת הפונקציה על האיברים בתחום. אם התמונה מהווה תת-קבוצה של קבוצה גדולה אחרת, הקבוצה הגדולה יותר תקרא "טווח הפונקציה" או בקיצור "טווח".
ההתאמה הינה חד ערכית, כלומר לכל איבר בתחום הגדרת הפונקציה מותאם איבר יחיד בקבוצת הטווח. במילים אחרות, אם נתונה פונקציה $\ f$ ואיבר $\ x_0$ בתחום הפונקציה, קיים $\ y_0$ יחיד בתחום הגדרת הפונקציה המותאם אליו. מסמנים זאת כך: $\ f\left( x_0\right) =y_0$ .

[עריכה] אופן הכתיבה

נהוג לכתוב פונקציה באופן הבא:
$\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrow & B \\ & x & \mapsto & f\left( x\right) \end{matrix}$ , כאשר: A הינה התחום ו-B היא הטווח.

השורה העליונה מציגה את הסימון של הפונקציה, את סימון התחום ואת סימון הטווח. השורה התחתונה נותנת את כלל ההתאמה של הפונקציה.

בתור דוגמה, נביט בפונקציה המקבלת מספר ממשי ומעלה אותו בריבוע: $\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}^+\cup \left\{0\right\} \\ & x & \mapsto & x^2 \end{matrix}$ ,

כאן $\ \mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\}$ מסמן את קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים או שווים ל-0.

[עריכה] חלוקה למקרים

תהא $\ f\left( x\right)$ פונקציה, הפועלת בצורה שונה על מספרים מהקבוצה A ועל מספרים מהקבוצה B. אזי, נכתוב את פעולת הפונקציה באופן הבא: $\ f\left( x\right) =\left\{ \begin{matrix} f_1\left( x\right) & x\in A \\ f_2\left( x\right) & x\in B \end{matrix} \right.$ , כאשר $\ f_1\left( x\right)$ היא הדרך בה פועלת $\ f\left( x\right)$ על מספרים השייכים לקבוצה $\ A$ , ו- $\ f_2\left( x\right)$ היא הדרך בה פועלת $\ f\left( x\right)$ על מספרים השייכים לקבוצה $\ B$ .

דוגמה: תהא $\ f\left( x\right)$ פונקציה שמעתיקה מספרים באופן הבא: אם המספר הוא חיובי או אפס (מה שנקרא אי שלילי) הפונקציה מוסיפה למספר 5, ואם הוא שלילי - היא מוסיפה לו 4. אז נכתוב את הפונקציה כך: $\ f\left( x\right) =\left\{ \begin{matrix} x+5 & x\in\mathbb{R} ^+\cup\left\{ 0\right\} \\ x+4 & x\in\mathbb{R} ^- \end{matrix} \right.$ .

[עריכה] הגדרות נוספות

תהא $\ f:A\to B$ פונקציה.

יהא $\ y_0\in B$ כלשהו, ונניח שקיים $\ x_0\in\ A$ כך ש- $\ f\left( x_0\right) =y_0$ . במקרה זה, אומרים ש- $\ x_0$ הוא מקור של $\ y_0$ .
יהא $\ y_0\in B$ כלשהו, ונניח שקיים $\ x_0\in A$ כך ש- $\ f\left( x_0\right) =y_0$ . במקרה זה, אומרים ש- $\ y_0$ היא התמונה של $\ x_0$ .

שימו לב: בגלל שהפונקציה היא חד-ערכית, לכל מקור יש תמונה אחת בלבד. לתמונה, לעומת זאת, יכולים להיות שניים, שלושה ואפילו אינסוף מקורות. למשל, עבור הפונקציה הקבועה $\ f\left( x\right) = 5$ , למספר 5 יש אינסוף מקורות כאשר התחום הוא $\ \mathbb{R}$ .

דוגמא: נתבונן בפונקציה:
$\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \left\{ 1,2,5 \right\} & \rightarrow & \left\{ 3,7,14 \right\} \\ & 1 & \mapsto & 3 \\ & 2 & \mapsto & 7 \\ & 5 & \mapsto & 14 \end{matrix}$
במקרה זה, התחום הינו הקבוצה $\ \left\{ 1,2,5 \right\}$ והתמונה הינה הקבוצה $\ \left\{ 3,7,14 \right\}$ . במקרה כזה, אנו יכולים להגיד שהטווח של הפונקציה הוא $\ \mathbb{N}$ .

[עריכה] פונקציה הפוכה

כאמור למעלה, פונקציה היא תמיד חד ערכית. נראה אילו תכונות נוספות פונקציה כללית $\ f\left( x\right)$ יכולה לקיים:

[עריכה] חד חד ערכיות

נגיד שפונקציה היא חד-חד-ערכית (ונכתוב: 1:1 או חח"ע) אם לכל איבר בתמונה קיים מקור אחד בלבד. במקרה זה, נוכל להגיד שזהו המקור של אותו איבר בתמונה.

[עריכה] על

נגיד שפונקציה היא על אם לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום שמתאים לו. תכונה זו, כפי שנראה בהמשך, תלויה פעמים רבות בהגדרת הטווח.

[עריכה] הגדרה

לפונקציה שהיא גם חח"ע וגם על ניתן להגדיר פונקציה הפוכה, באופן הבא: אם $\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrow & B \\ & x & \mapsto & y=f\left( x\right) \end{matrix}$ , אזי הפונקציה ההפוכה $\ f^{-1}\left( y\right)$ תיראה כך:

דוגמא: מצאו את הפונקציה ההפוכה של $\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{Z} \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix}$ .

פתרון: ראשית נבדוק שמתקיימות התכונות שלמעלה: הפונקציה היא חד חד ערכית, כי לכל איבר בתמונה יש מקור יחיד. לעומת זאת, הפונקציה אינה על. על מנת לפתור בעיה זו ולמצוא את הפונקציה ההפוכה, נשנה את אופן רישום הפונקציה: התמונה של הפונקציה הינה כל השלמים השליליים, כלומר $\ \mathbb{Z} ^-$ . לכן, נרשום את הפונקציה באופן הבא: $\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{Z} ^- \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix}$ .
כעת: הפעולה ההפוכה לכפל ב- $\ -1$ היא כפל ב- $\ -1$ . לכן, הפונקציה ההפוכה תהיה: $\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{Z} ^- & \rightarrow & \mathbb{N} \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix}$ .