חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | גבולות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בפרק זה יוצגו הוכחות למשפטים שהוצגו בפרק הגבולות ללא הוכחה, כדוגמת חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'.

תוכן עניינים

1 חוקי הגבולות
- 1.1 חוקים בסיסיים
  - 1.1.1 הגבול של קבוע
  - 1.1.2 הגבול של פונ' הזהות
- 1.2 אריתמטיקה של גבולות
2 משפטים מתקדמים
- 2.1 מונוטוניות של גבולות
- 2.2 כלל הסנדוויץ'
  - 2.2.1 שימושים לכלל הסנדוויץ'
3 אריתמטיקה של גבולות אינסופיים
4 משפטי גבולות באינסוף

[עריכה] חוקי הגבולות

את כל חוקי הגבולות שהוצגו קודם לכן ניתן להוכיח באמצעות ההגדרה המדויקת של הגבול. נוכיח כמה מהם בדרך זו.

[עריכה] חוקים בסיסיים

[עריכה] הגבול של קבוע

אמרנו כי במידה ו-c הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:

משפט: הגבול של פונקציה קבועה

$\lim_{x\rarr a}c = c$

זהו חוק פשוט אך חשוב וקל להוכיחו.

הוכחה: יהי $\varepsilon > 0$ . נראה שקיים $δ > 0$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אזי $\left| {f\left( x \right) - c} \right| < \varepsilon$ . אבל כאן הפונקציה היא הקבוע $c$ , לכן $\left| {f\left( x \right) - c} \right| = \left| {c - c} \right| = 0 < \varepsilon$ שכן $\varepsilon$ מראש גדול מאפס. לכן, החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזה $δ$ נבחר. מ.ש.ל.

[עריכה] הגבול של פונ' הזהות

ep קבענו כי הגבול של פונקצית הזהות $I\left( x \right) = x$ שווה ל- $a$ , כאשר $a$ הוא המספר אליו x שואף, כלומר: .

משפט: הגבול של פונ' הזהות

$\lim_{x\rarr a}x = a$

הוכחה: יהי $\varepsilon > 0$ . נראה שקיים $δ > 0$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אזי $\left| {I\left( x \right) - a} \right| < \varepsilon$ . אבל כאן הפונקציה היא פונקצית הזהות $I\left( x \right) = x$ , לכן $\left| {I\left( x \right) - a} \right| = \left| {x - a} \right|$ . נבחר $\delta = \varepsilon$ ואז $\left| {x - a} \right| = \left| {I\left( x \right) - a} \right| < \delta = \varepsilon$ . מ.ש.ל.

[עריכה] אריתמטיקה של גבולות

משפט: אריתמטיקה של גבולות סופיים

נניח $\ f(x), g(x)$ פונקציות המוגדרות בסביבת נקודה a ובעלות גבולות סופיים $\lim_{x\rarr a}f(x) = L$ ו- $\lim_{x\rarr a}g(x) = M$ . אז:

$\lim_{x\rarr a}[f(x)+g(x)] = L+M$ .
$\lim_{x\rarr a}[f(x)-g(x)] = L-M$ .
לכל קבוע c : $\lim_{x\rarr a}[c \times f(x)] = c \times L$ .
$\lim_{x\rarr a}[f(x) \times g(x)] = L \times M$ .
אם $M \ne 0$ אז: $lim_{x\rarr a} {f(x) \over g(x)} = {L \over M}$ .

נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:

[עריכה] סכום גבולות

אמרנו כי במידה והגבולות $\lim_{x\rarr a}f(x)$ ו- $\lim_{x\rarr a}g(x)$ קיימים וסופיים אז גבול הסכום שלהם הוא סכום הגבולות, כלומר, $\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) + \lim_{x\rarr a}g(x)$ . אם נכתוב $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ ו- $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M$ , נראה שעלינו להוכיח כי $\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$ .

הוכחה: יהי $\varepsilon > 0$ . נראה שקיים $δ > 0$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אזי $\left| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \right| < \varepsilon$ . נסדר מעט אי-שיוויון זה ונקבל:

$\left| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \right| = \left| {\left[ {f\left( x \right) - L} \right] + \left[ {g\left( x \right) - M} \right]} \right| \le \left| {f\left( x \right) - L} \right| + \left| {g\left( x \right) - M} \right|$

במעבר השני נעשה שימוש באי-שיוויון המשולש ( $\ a,b\isin \mathbb{R}$ אז $\ |a+b|\le |a|+|b|$ ). אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- $\frac{\varepsilon } {2}$ , אז נקבל $\left| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \right| < \varepsilon$ כדרוש. מכיוון שנתונים לנו הגבולות של $f (x)$ ו- $g (x)$ , אין זה בעיה להגבילם. נתון $\lim_{x\rarr a}f(x) = L$ , כלומר קיים $δ 1$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ , אז $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon } {2}$ ( $\frac{\varepsilon } {2}$ הוא כמובן חיובי כי $\varepsilon > 0$ ). כמו-כן, קיים $δ 2$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ , אז $\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{\varepsilon } {2}$ .

נבחר $\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 } \right\}$ ואז אם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אז מתקיים $0< \left| {x - a} \right| < \delta _1$ וכן $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ . כך שמתקיים $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon } {2}$ וכן $\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{\varepsilon } {2}$ . לכן, מתקיים:

$\left| {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] - \left( {L + M} \right)} \right| \le \left| {f\left( x \right) - L} \right| + \left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{\varepsilon } {2} + \frac{\varepsilon } {2} = \varepsilon$

.

מצאנו $δ$ מתאים. לפיכך, החוק מוכח לפי ההגדרה. מ.ש.ל.

[עריכה] מכפלת גבול בקבוע

אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, $\lim_{x\rarr a}[cf(x)] = c\lim_{x\rarr a}f(x)$ אם קיים הגבול $\lim _{x \to a} f\left( x \right)$ . אם נכתוב $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ , החוק אומר כי $\lim _{x \to a} cf\left( x \right) = cL$ .

הוכחה: יהי $\varepsilon > 0$ . נראה שקיים $δ > 0$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אזי $\left| {cf\left( x \right) - cL} \right| < \varepsilon$ . נסדר מעט את אי השיוויון ונקבל:

$\left| {cf\left( x \right) - cL} \right| = \left| {c\left[ {f\left( x \right) - L} \right]} \right| = \left| c \right|\left| {f\left( x \right) - L} \right|$

מכיוון שנתון $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ , קיים $δ 1 > 0$ כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ אז $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon _1$ . לכל אפסילון יש דלתא שמתאים לו. למטרותינו בהוכחה זו, ניקח $\varepsilon _1 = \frac{\varepsilon } {{\left| c \right|}}$ (אפסילון הוא חיובי והביטוי במכנה הוא תחת ערך מוחלט) וקיים $δ 1$ שמתאים לו. נבחר $δ = δ 1$ ואז מכיוון ש- $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ אז כמובן $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ . לפיכך, מתקיים $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon } {{\left| c \right|}}$ וכתוצאה מכך, נקבל:

$\left| {cf\left( x \right) - cL} \right| = \left| c \right|\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \left| c \right|\frac{\varepsilon } {{\left| c \right|}} = \varepsilon$

לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. מ.ש.ל.

[עריכה] הפרש גבולות

החוק להפרש גבולות אומר כי אם $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ ו- $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M$ , אז $\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$ .

במקום להוכיח באמצעות ההגדרה, אנחנו יכולים להשתמש בחוק לסכום גבולות והחוק למכפלה בקבוע ולקבל הוכחה פשוטה.

$\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + \left( { - 1} \right)g\left( x \right)} \right] = \lim _{x \to a} f\left( x \right) + \lim _{x \to a} \left[ {\left( { - 1} \right)g\left( x \right)} \right] = \lim _{x \to a} f\left( x \right) - \lim _{x \to a} g\left( x \right) = L - M$

המעבר השני הוא שימוש בחוק לסכום גבולות. המעבר השלישי הוא שימוש בחוק למכפלה בקבוע (1- הועבר אל מחוץ לגבול). מ.ש.ל.

[עריכה] מכפלת גבולות

החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע). החוק אומר כי אם $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ וכן $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M$ , אזי $\lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \lim _{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim _{x \to a} g\left( x \right) = L \cdot M$ .

הוכחה: יהי $\varepsilon > 0$ . נראה שקיים $δ > 0$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אזי $\left| {f\left( x \right)g\left( x \right) - LM} \right| < \varepsilon$ . אנחנו רוצים לקבל ביטוי שמכיל את $\left| {f\left( x \right) - L} \right|$ ואת $\left| {g\left( x \right) - M} \right|$ ולכן נעשה את הדבר הבא:

$\left| {f\left( x \right)g\left( x \right) - LM} \right| = \left| {f\left( x \right)g\left( x \right) - Lg\left( x \right) + Lg\left( x \right) - LM} \right| = \left| {g\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - L} \right] + L\left[ {g\left( x \right) - M} \right]} \right| \le$

$\left| {g\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - L} \right]} \right| + \left| {L\left[ {g\left( x \right) - M} \right]} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right|\left| {f\left( x \right) - L} \right| + \left| L \right|\left| {g\left( x \right) - M} \right|$

במעבר השלישי נעשה שימוש באי-שיוויון המשולש. נרצה שכל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מחצי אפסילון. לשם כך, נשתמש בגבולות אשר ידועים לנו.

מכיוון שנתון $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M$ , קיים מספר $δ 1 > 0$ כך שמתקיים $\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{\varepsilon } {{2\left( {1 + \left| L \right|} \right)}}$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ . כמו-כן, קיים מספר $δ 2 > 0$ כך שמתקיים $\left| {g\left( x \right) - M} \right| < 1$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ . מכאן:

$\left| {g\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right) - M + M} \right| \le \left| {g\left( x \right) - M} \right| + \left| M \right| < 1 + \left| M \right|$

מכיון שנתון $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ , קיים מספר $δ 3 > 0$ כך שמתקיים $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \frac{\varepsilon } {{2\left( {1 + \left| M \right|} \right)}}$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _3$ . נקבע $\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 ,\delta _3 } \right\}$ . אם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ אז מתקיים $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ וגם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ וגם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _3$ , לכן מתקיימים שלושת האי-שיוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,

$\left| {f\left( x \right)g\left( x \right) - LM} \right| \le \left| {g\left( x \right)} \right|\left| {f\left( x \right) - L} \right| + \left| L \right|\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \left( {1 + \left| M \right|} \right)\frac{\varepsilon } {{2\left( {1 + \left| M \right|} \right)}} + \left| L \right|\frac{\varepsilon } {{2\left( {1 + \left| L \right|} \right)}} < \frac{\varepsilon } {2} + \frac{\varepsilon } {2} = \varepsilon$

מ.ש.ל.

[עריכה] מנת גבולות

החוק למנת גבולות אומר כי אם הגבול $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ , הגבול $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M$ ו- $M \ne 0$ , אזי $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}} = \frac{{\lim _{x \to a} f\left( x \right)}} {{\lim _{x \to a} g\left( x \right)}} = \frac{L} {M}$ .

הוכחה: ראשית נראה כי $\lim _{x \to a} \frac{1} {{g\left( x \right)}} = \frac{1} {M}$ (אם נראה זאת, שימוש בחוק למכפלת גבולות יסיים את העבודה). כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן $\varepsilon > 0$ קיים $δ > 0$ מתאים כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ אז $\left| {\frac{1} {{g\left( x \right)}} - \frac{1} {M}} \right| < \varepsilon$ . על ידי מכנה משותף, נקבל:

$\left| {\frac{1} {{g\left( x \right)}} - \frac{1} {M}} \right| = \left| {\frac{{M - g\left( x \right)}} {{Mg\left( x \right)}}} \right| = \frac{{\left| {M - g\left( x \right)} \right|}} {{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} = \frac{{\left| {g\left( x \right) - M} \right|}} {{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}}$

את הביטוי במונה אנחנו יכולים להגביל באמצעות הגבול של g. אבל אנחנו גם צריכים לדאוג לכך שהמכנה לא יהיה קטן כאשר x בסביבת a. מכיוון שנתון $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M$ ו- $M \ne 0$ , קיים מספר $δ 1 > 0$ כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ אז $\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{{\left| M \right|}} {2}$ . מכאן:

$\left| M \right| = \left| {M - g\left( x \right) + g\left( x \right)} \right| \le \left| {M - g\left( x \right)} \right| + \left| {g\left( x \right)} \right| < \frac{{\left| M \right|}} {2} + \left| {g\left( x \right)} \right|$

לכן, $\left| {g\left( x \right)} \right| > \left| M \right| - \frac{{\left| M \right|}} {2} = \frac{{\left| M \right|}} {2}$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ . לכן, עבור ערכים אלו של x, מתקיים:

$\frac{1} {{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} = \frac{1} {{\left| M \right|\left| {g\left( x \right)} \right|}} < \frac{1} {{\left| M \right|}} \cdot \frac{2} {{\left| M \right|}} = \frac{2} {{M^2 }}$

כמו-כן, קיים מספר $δ 2 > 0$ כך שמתקיים $\left| {g\left( x \right) - M} \right| < \frac{{M^2 }} {2}\varepsilon$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ . נבחר $\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 } \right\}$ ואז אם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ אז $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ וגם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ , לפיכך מתקיים:

$\left| {\frac{1} {{g\left( x \right)}} - \frac{1} {M}} \right| = \frac{{\left| {g\left( x \right) - M} \right|}} {{\left| {Mg\left( x \right)} \right|}} < \frac{2} {{M^2 }}\frac{{M^2 }} {2}\varepsilon = \varepsilon$

הוכחנו $\lim _{x \to a} \frac{1} {{g\left( x \right)}} = \frac{1} {M}$ . כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:

$\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}} {{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \cdot \frac{1} {{g\left( x \right)}}} \right] = \lim _{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim _{x \to a} \frac{1} {{g\left( x \right)}} = L \cdot \frac{1} {M} = \frac{L} {M}$

מ.ש.ל

[עריכה] משפטים מתקדמים

[עריכה] מונוטוניות של גבולות

משפט: מונוטוניות של גבולות

אם $f\left( x \right) \le g\left( x \right)$ לכל x בקטע פתוח כלשהו המכיל את a (מלבד אולי ב-a עצמו) ואם $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ וגם $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = M$ , אזי $L \le M$ .

הוכחה: נוכיח בדרך השלילה. נניח כי $L > M$ .

החוק להפרש גבולות אומר כי $\lim _{x \to a} \left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] = M - L$ לכן, לכל $\varepsilon > 0$ , קיים $δ > 0$ כך שמתקיים $\left| {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] - \left( {M - L} \right)} \right| < \varepsilon$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ . ניקח, למטרותינו בהוכחה זו, $\varepsilon = L - M$ (שימו לב כי $L - M > 0$ לפי ההנחה שלנו) וקיים עבורו $δ > 0$ כך שמתקיים $\left| {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] - \left( {M - L} \right)} \right| < L - M$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ .

עבור כל מספר $a$ שהוא, מתקיים $a \le \left| a \right|$ , לכן כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , מתקיים $\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] - \left( {M - L} \right) < L - M$ . מהעברת אגפים נקבל $g\left( x \right) < f\left( x \right)$ (כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ ).

הדבר עומד בסתירה לנתון $f\left( x \right) \le g\left( x \right)$ ולכן ההנחה שלנו $L > M$ היא שגויה. האפשרות היחידה שנותרה היא $L \le M$ שזה מה שרצינו. מ.ש.ל.

[עריכה] כלל הסנדוויץ'

ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:

משפט: כלל הסנדוויץ'

אם $\ h(x) , g(x) , f(x)$ הן פונקציות המקיימות:

$\ h(x) \le f(x) \le g(x)$ וכן $\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L$

אז הגבול של $\ f$ בנקודה $\ a$ קיים וערכו $\lim_{x \to a} f(x) = L$

למרות שמדובר בכלל רב עוצמה, ההוכחה שלו היא פשוטה ואלגנטית.

הוכחה: יהי $\varepsilon > 0$ . מכיוון שנתון $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = L$ , קיים מספר $\ \delta _1 > 0$ כך שמתקיים $\left| {g\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ . כלומר, $L - \varepsilon < g\left( x \right) < L + \varepsilon$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ .

מכיוון שנתון $\lim _{x \to a} h\left( x \right) = L$ , קיים מספר $δ 2 > 0$ כך שמתקיים $\left| {h\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ . כלומר, $L - \varepsilon < h\left( x \right) < L + \varepsilon$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ .

נבחר $\delta = \min \left\{ {\delta _1 ,\delta _2 } \right\}$ . אם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ אז $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _1$ וגם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta _2$ , לפיכך:

$L - \varepsilon < h\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right) < L + \varepsilon$

מכאן,

$L - \varepsilon < f\left( x \right) < L + \varepsilon$

לפיכך, $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ . לכן, $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ . מ.ש.ל.

[עריכה] שימושים לכלל הסנדוויץ'

המשפט הבא הינו משפט חשוב מאוד, אשר הוכחתו קלה בעזרת כלל הסנדוויץ':

משפט: פונקציה אפסה מוכפלת בחסומה

תהינה $\ f(x),g(x)$ פונקציות המוגדרות בקטע המכיל נקודה a, אך לא בהכרח בנקודה, כך ש- $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ , וכן $\ g(x)$ חסומה בקטע. אז קיים הגבול $\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)]$ והוא שווה ל-0.

הוכחה: $\ g(x)$ חסומה בקטע, נניח ע"י חסם M כך ש- $\ -M \le g(X) \le M$ . לכן $-M \times f(x) \le g(x) \times f(x) \le M \times f(x)$ .
מקיום הגבול $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ אנו מסיקים בעזרת האריתמטיקה של הגבולות כי $\lim_{x \to a} [M \times f(x)] = 0$ ו- $\lim_{x \to a} [-M \times f(x)] = 0$ .
ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ' $\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = 0$ . מש"ל.

שימו לב שעל $\ g(x)$ אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים.
דוגמה: הוכח כי קיים הגבול $\lim_{x \to 0} x \sin({1 \over x})$ , ומצא את ערכו.
נסמן $\ f(x)=x, g(x)= \sin({1 \over x})$ .
ע"פ משפט "גבול של פונקציית הזהות" $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ , בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.

[עריכה] אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

[עריכה] משפטי גבולות באינסוף

הנושא הקודם בפרק זה
חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול

בחזרה לעמוד הפתיחה
חשבון אינפיניטסימלי/גבולות

הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: חשבון אינפיניטסימלי/רציפות