חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

[עריכה] הוכחת הטענה: \ \mathbb{Q} הינה קבוצה בת מניה

כפי שאמרנו בפרק זה, על מנת להוכיח את הטענה עלינו למצוא לקבוצה \mathbb{Q} סידור לפי סדר מסויים.
הוכחה: נראה עבור רציונלים חיוביים, ואז נוכל, לפי אותו הסדר, לסדר גם את השליליים (בדיוק כמו שעשינו עם \mathbb{Z}).
נסדר את המספרים הרציונלים בתוך טבלה גדולה בסדר הבא:
אפשרות לסידור המספרים הרציונלים בטבלה, לפי סדר מסויים
נסמן כעת מסלול בעזרת חיצים, באופן הבא:
זהו הסדר שבו אנו בוחרים ללכת
נלך כעת במסלול המסומן באמצעות החצים, ואז נוכל למנות אותם (כלומר: להגיד מי ראשון, מי שני וכולי). ▪

[עריכה] הוכחת הטענה: \ \mathbb{R} אינה קבוצה בת מניה

הוכחה: מספיק שנוכיח עבור קטע קטן מ- \ \mathbb{R} (שהרי אם קטע מקבוצה מסויימת אינו בר מניה, ודאי שהקבוצה כולה אינה כזו!). לכן, נוכיח רק עבור הקטע \ \left( 0,1 \right) :
נניח בשלילה ש- \mathbb{R} הינו בר-מניה. כלומר, נוכל לסדר את האיברים בשורה: \ a^1,a^2,a^3\cdots (כאשר המספרים \ 1,2,3 אינם מציינים חזקה, אלא את מיקום המספר בשורה). ונוכיח שקיים מספר אחד לפחות בקטע \ \left( 0,1 \right) שאינו ברשימה. נרשום כל אחד מהמספרים שברשימה \ a^i בצורה עשרונית: (המספרים שברשימה מסמלים את הספרות \ 0-9 ):

\ a^1=0.b^1_1b^1_2b^1_3b^1_4b^1_5b^1_6b^1_7\cdots


\ a^2=0.b^2_1b^2_2b^2_3b^2_4b^2_5b^2_6b^2_7\cdots


\ a^3=0.b^3_1b^3_2b^3_3b^3_4b^3_5b^3_6b^3_7\cdots


נבנה כעת את המספר \ c באופן הבא: \ c=c_1c_2c_3c_4c_5c_6c_7\cdots , כאשר נגדיר: \ c_i= \left\{ \begin{matrix} 5 & b_i^i\neq 5 \\ 3 & b_i^i=5 \end{matrix} \right. . כלומר, המספר החדש \ c יהיה תמיד שונה בספרה אחת לפחות מכל מספר שברשימה (הוא יהיה שונה מהאיבר ה- \ i במקום ה- \ i ) \ c \ \Leftarrow אינו מופיע ברשימה \ \Leftarrow הקטע \ (0,1) אינו בר מניה.
וכאמור למעלה: \ \left( 0,1 \right) \in\mathbb{R} ואינו בר מניה \ \mathbb{R} \ \Leftarrow כולו אינו בר-מניה.
▪ הערות:

  • שיטה זו (בה הוכחנו ש- \ \mathbb{R} אינו בן-מניה) נקראת שיטת האלכסון של קנטור, ע"ש קנטור ממציא השיטה ומשום שבשיטה זו אנו יוצרים איבר חדש, השונה מכל האיברים הקיימים, הנוצר באלכסון.
  • אנחנו מתבססים ללא הוכחה על העובדה שכל מספר ממשי ניתן להצגה לכל היותר בשתי צורות כפיתוח עשרוני, והמספרים היחידים שניתנים להצגה כפולה שכזו הם מספרים שנגמרים ב-\ 999\dots בהצגה אחת וב-\ 000\cdots בשנייה. בבירור המספר שבנינו אינו כזה, ולכן אין חשש שבנינו את אחד מהמספרים שכן הופיעו ברשימה בצורה שלו שלא הופיעה ברשימה.
  • עוד על קבוצות בנות-מניה ושאינן בנות מניה, על שיטת האלכסון של קנטור ועוד - בקורס תורת הקבוצות.


בחזרה לקורס לחצו כאן.


מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99/%D7%9E%D7%95%D7%A9%D7%92%D7%99%D7%9D_%D7%91%D7%A1%D7%99%D7%A1%D7%99%D7%99%D7%9D_%D7%91%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%95%D7%AA/%D7%A0%D7%A1%D7%A4%D7%97