מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות

פונקציה טריגונומטרית מורכבת

תבנית הפונקציות סינוס וקוסינוס מאופיינת במחזוריות פונקציה בעלת ערך טריגונומטרי אחד או יותר מהערכים : $\sin f(x)$, $\cos f(x)$, $\tan f(x)$, $\cot f(x)$ פונקצית סינוס ,פונקצית קוסינוס, פונקצית הטנגנס, פונקצית הקוטנגנס (מקרים בודדים לפונקציות הטריגנומטריות) תחום הגדרה $x$ שייך לכל המספרים הממשים ($x\in \mathbb {R}$) על פי רוב (פונקציה טנגנס וקוטנגנס אינם מוגדרים בחלק מהמקרים) בתחום $0\leq x\leq 2\pi$ (בשל מעגל היחידה) ואלא אם הפונקציה היא שילוב בין פונקציה טריגונומטרית ופונקציה רציונלית וכדומה. חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ נציב $y=0$ ונפתור משוואה עם שברים חיתוך עם ציר $y$ הצבה $x=0$. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים: חיתוך עם ציר $y$ - פתרון יחיד. אין חיתוך עם ציר $y$ - משוואה לא-הגיונית, כמו למשל $2=0$ תחום שלילי וחיובי נזהה אם הפונקציה עולה, יורדת או קבועה. נזהה את נקודות החיתוך עם ציר $x$. נקבע את התחומים: פונקציה עולה: התחום החיובי הוא התחום שבו $x$ גדול מערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. התחום השלילי הוא התחום שבו $x$ קטן מערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. בנקודת החיתוך עם ציר $x$ , תחום הפונקציה אינו חיובי ואינו שלילי. פונקציה יורדת, להיפך: התחום החיובי הוא התחום שבו $x$ ערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. התחום השלילי הוא התחום שבו $x$ גדול מערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. בנקודת החיתוך עם ציר $x$ , תחום הפונקציה אינו חיובי ואינו שלילי. פונקציה קבועה היא בעלת תחום עליה או ירידה אחד, בלבד. אם המקדם החופשי (n) חיובי אזי תחום הפונקציה הוא חיובי בלבד, ולהפך. אם המקדם החופשי (n) הוא שלילי אזי תחום הפונקציה הוא שלילי. נקודות קיצון השוואת הנגזרת לאפס (להוכחה לחץ כאן): ${\begin{aligned}&(\sin bx)'=\cos bx*b\\&(\cos bx)'=-\sin bx*b\\&(\tan bx)'={\frac {1}{\cos ^{2}bx}}*b\\\end{aligned}}$ שימו לב! לפונקציה טריגונומטרית מורכבת ולפונקציה טריגונומטרית המוכפלת במספר קבוע!!! פעמים רבות אנו שוכחים את כללי הגזירה, נדגים שתי נגזרות חשובות בשילוב עם פונקציה טריגונומטרית. עקרון הגזירה זהה לשאר הפונקציות הטריגונומטריות : * פונקציה מורכבת : $\ (\sin ^{2}x)'=[(sinx)^{2}]'=2sinx*cosx\qquad \qquad [f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)$ * $\ (sin2x)'=2cos2x$ ראה דוגמאות נוספות. מציאת ערכי X של הנקודות - פתרון המשוואה הטריגונומטרית. מציאת ערכי Y של הנקודות- את ערכי ה-$\ y$ נמצא על ידי הצבת ערכי ה-$\ X$ במשוואה הפונקציה המקורית. נקודות פיתול השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר : נבצע גזירה. נשוואה נגזרת לאפס. נפתור את המשוואה. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד". אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית לציר $x$ פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות לחור). בדיקת תחום הגדרה. אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה. אסימפטוטה אופקית מציאת ערך ה- $x$ הגדול ביותר בפונקציה. שלושת המצבים : $y=0$ (מתלכדת עם ציר ה- $x$ בגרף) - כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס). אין אסימפטוטה המקבילה לציר $x$ - כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית. אסיפטוטה $y$ היא ערך מקדמי ה- $x$ הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית. רשימת הערכים בהם : $\lim _{x\to \infty }$. $\lim _{x\to -\infty }$. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות $y$ אסימפטוטת בפונקציה. תחומי עליה וירידה כמו תמיד נעזר בטבלה בה נציב : נקודות הקיצון החשודות על פי סדר עולה ואת נקודת תחום ההגדרה. נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות. נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר : ערכי הנגזרת ($y'$) חיובים - הפונקציה עולה. ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת. נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום ומי הן נקודות מקסימום