מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה/פונקצית הטנגנס

פונקצית קוסינוס

ראשית נצייר את פונקצית הטנגנס על יחידת המעגל ונסביר מדוע הצלע $CA$ מייצגת אותה. בכדי לעשות זאת נבנה משולש דומה למשולש המעגל השומר על יחסי המשולש. אנו נעזרים במשולש זה כיוון שהצלע $OB$ שלו שווה $1$ (רדיוס) ולכן החישובים בו יהיו קלים יותר עבורנו. פונקצית הטנגס מבטא את היחס בין הניצב מול הזווית לניצב ליד הזווית ובקיצור את ציר ה-$\ y$ חלקי ציר ה-$\ x$ $sinx={\frac {DB}{OD}}$ ואילו $cosx={\frac {OB}{OD}}$ ועל כן $\,\!\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {\frac {OB}{OD}}{\frac {BD}{OD}}}={\frac {DB}{OB}}=DB$ כפי שניתן לראות בברור פונקצית הטנגנס מבוטא באמצעות האנך $DB$ פונקצית הטנגס תחום הגדרה פונקצית הטנגנס בשל המכנה שלה בעלת אסימפטוטה ($\ cos=0$) ותחום הגדרה ($\ cos\neq 0$). כאשר מכנה הפונקציה יהיה שווה לאפס, הפונקציה לא תהיה מוגדרת (אי אפשר לחלק מספר לאף אחד). אפשרות זו תתממש כאשר $\ cos\alpha =0$, כלומר, כאשר רדיוס הפונקציה נמצא בנקודה של הזווית : $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$. נזכור כי הפונקציה היא מחזורית , ולפיכך, קיימות נקודות נוספות בהם הפונקציה אינה מוגדרת : $\ {\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}}...$. בתשובה כללית, נוכל לומר שהפונקציה אינה מוגדרת עבור כל חצי סיבוב ובמתמטי : ${\frac {\pi }{2}}+\pi k^{\circ }$ K - מספר סיבובים מעלות 0 ${\frac {\pi }{2}}+\pi *0={\frac {\pi }{2}}$ 1 ${\frac {\pi }{2}}+\pi *1={\frac {3\pi }{2}}$ 2 ${\frac {\pi }{2}}+\pi *2={\frac {5\pi }{2}}$ 3 ${\frac {\pi }{2}}+\pi *3={\frac {7\pi }{2}}$ פונקציה מחזורית ותחום ערכי הפונקציה אם נביט היטב בטבלה, נוכל לראות שההפרש בין כל זווית המאפסת את פונקצית הטנגנס, הוא $\ \pi$. כלומר, פונקצית הטנגנס חוזרת על עצמה כל חצי סיבוב. כאשר היא מסיימת את חצי הסיבוב, היא "נעצרת" בידי האסיפטוטה. לכן, תחום הפונקציה הוא : $-\infty <\tan \alpha <\infty$ תחום שלילי וחיובי טנגנס חיובי ושלילי פונקצית הטנגנס קצת יותר מורכבת (אבל לא מוסבכת) מפונקצית הסינוס והקוסינוס, כיוון, שאפשר להתייחס אליה כאל שתי פוקנציות ($\,\!\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$ ). ננצל נתון זה ונגלה את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה. כידוע, בחילוק מספרים שלילים וחיובים כאשר : הסימנים של שני המספרים זהים (דהיינו, שניהם חיוביים או שניהם שליליים), התוצאה חיובית. ההסימנים של שני המספרים שונים (דהיינו, אחד חיובי ואחד שלילי), התוצאה שלילית. אתגר : מדוע מינוס כפול מינוס נותן פלוס? ומינוס כפול פלוס נותן מינוס? אנשים טוענים כי כפל היא פעולת קיצור של חיבור (למשל, $\ 3+3+3=3*3=9$). מהו ההסבר לכך שכאשר : יש לי מינוס שלושה קבוצות ובכל קבוצה יש לי מינוס שלושה שקלים, התשובה יוצאת תשע ($\ -3*-3=9$)? לפיכך, נוכל לגלות את תחום שליליות וחיוביות של הפונקציה טנגס על פי תחומי השליליות והחיוביות של פונקצית הסינוס והקוסינוס. ברביע ראשון פונקציות סינוס וקוסינוס חיוביות (שני מספרים בעלי סימן זהה) ולכן, פונקצית טנגנס חיובית. בין ${\frac {\pi }{2}}<x<\pi$, רביע שני, פונקצית סינוס חיובית ואילו פונקצית קוסינוס שלילית (שני סימנים שונים). מכאן, שפונקצית טנגס שלילית. ברביע שלישי, שוב שתי הפונקציות (סינוס וקוסינוס) שליליות ולכן, פונקצית טנגס חיובית. חזרה אל רביע רביעי, פונקצית סינוס שלילית ופונקצית הקוסינוס חיובית. לכן, פונקצית הטנגס שלילית. לסיכום, שוב בפרק זה פגשנו בפונקציה טריגונומטרית מחזורית. אשר חיובית ברביע שני ורביעי ושלילית ברביע ראשון ושלישי. לפונקציה אין נקודות קיצון, אלא, נקודות פיתול ואסיפטוטה. פונקציה אי זוגית פוקצית הטנגנס היא פונקציה אי זוגית. נזכיר, פונקציה אי זוגית (פונקציה סימטרית ביחס לראשית הצירים), היא פונקציה בעלת נקודות עם ערכים נגדים , כלומר עבור כל נקודה $\ (x,y)$, קיימת נקודה נוספת (על הפונקציה) השווה ל-$\ (-x,-y)$. במשוואה : $\ f(-x)=-f(x)$. לסיכום, $\ \tan -x=-\tan x$. הערות שוליים

פונקצית הקוטנגנס