פונקצית הקוסינוס[עריכה]
תחום הגדרה[עריכה]
לאור העובדה שניתן להציב בפונקציית קוסינוס את כל הזווית (סיבוב) ממעגל היחידה הטריגונומטרי, פונקציית קוסינוס מוגדרת עבור : . מנגד בשל אורך הרדיוס פונקציית הקוסינוס חסומה בין
פונקצית קוסינוס חיובית מצידו הימין של ציר ה-  ושלילית מצדו השני של הציר.
פונקצית הקוסינוס מבטא את ציר ה- , מכאן, שמימין לציר ה- - ערכי חיובים. משמאל לציר ה- - ערכי שלילים. נסיק שפונקצית הקוסינוס מוגדרת :
- תחום חיוביות - כאשר זוויותיה מצד ימין לציר ה-
.
- תחום שליליות - כאשר זוויותיה משמאל לציר ה-
.
על פי ההסקה, מבחינת רביעים על הצירים, נוכל לומר שפונקצית קוסינוס :
ברביע ראשון חיובית (מצד ימין לציר ), לכן, הזוויות שלה בתחום , חיוביות. הזווית היא נקודת קיצון.
ברביע שני, הפונקציה שלילית (מצד שמאל לציר ה- ) . שמו לב, הזווית , היא נקודת מפנה (מערכים חיובים לשלילים) אך, היא אינה נקודת קיצון (הנגזרת אינה שווה לאפס).
ברביע שלישי, ציר ה- עדין שלילי ולכן, גם ערכי הפונקציה , עדין שלילים. הפוקנציה חוזרת להיות חיובית, ברביע הרביעי, כאשר היא חוצה את הזווית ושוב נמצאת בצידו הימין של מעגל היחידה.
הפוקנציה שומרת על ערכה בכל סיבוב ( ) ולכן, היא פונקצית מחזורית.
לסיכום, ארבע מוקדים מרכזים לפונקצית הקוסינוס, הזוויות , , ו- . שני מוקדים ( ) שמחלקים את מעגל היחידה לתחום חיובי שלילי וכך, בהתאם לגרף. שני מוקדים ( , ) המהוויים נקודת קיצון, בהתאם למיקום בציר (מעל או מתחת לנקודת אפס).
פוקצית הקוסינוס היא פונקציה זוגית מפני שערכי משני צדי מעגל היחידה שווים, .
פונקציה זוגית, היא פונקציה סימטרית ביחס לציר השיקוף (במקרה, של פונקצית קוסינוס, ציר ה- מהווה ציר סימטריה), כלומר, אם נקפל את הגרף בציר נקבל שיקוף (שני צידה הגרף יהיו חופפים זה לזה). למשל, אם קיימת הנקודה מצדו השני של הגרף, תופיע הנקודה . במשוואה : .
התכונה נובעת מכך שערכי הזוויות בחלקו הימין של מעגל היחידה זהים בהתאמה, לזוויות בצידו השני של מעגל היחידה, כפי שראינו .
תרגול (לקוח מבגרות במתמטיקה 006, חורף תש"ע)[עריכה]
הראה כי הפונקציה היא פונקציה זוגית.
|