מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה/פונקצית קוסינוס

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

1rightarrow.png פונקצית סינוס

Cosine.svg

פונקצית הקוסינוס[עריכה]

תחום הגדרה[עריכה]

לאור העבודה שניתן להציב בפונקצית קוסינוס את כל הזווית (סיבוב) ממעגל היחידה הטריגונומטרי, פונקצית קוסינוס מוגדרת עבור : . מנגד בשל אורך הרדיוס פונקצית הקוסינוס חסומה בין

תחום שלילי וחיובי[עריכה]

Cosine (Positive and Negative).png
פונקצית קוסינוס חיובית מצידו הימין של ציר ה- ושלילית מצדו השני של הציר.

פונקצית הקוסינוס מבטא את ציר ה-, מכאן, שמימין לציר ה- - ערכי חיובים. משמאל לציר ה- - ערכי שלילים. נסיק שפונקצית הקוסינוס מוגדרת :

  1. תחום חיוביות - כאשר זוויותיה מצד ימין לציר ה-.
  2. תחום שליליות - כאשר זוויותיה משמאל לציר ה-.



על פי ההסקה, מבחינת רביעים על הצירים, נוכל לומר שפונקצית קוסינוס :
ברביע ראשון חיובית (מצד ימין לציר ), לכן, הזוויות שלה בתחום , חיוביות. הזווית היא נקודת קיצון.
ברביע שני, הפונקציה שלילית (מצד שמאל לציר ה-) . שמו לב, הזווית , היא נקודת מפנה (מערכים חיובים לשלילים) אך, היא אינה נקודת קיצון (הנגזרת אינה שווה לאפס).
ברביע שלישי, ציר ה- עדין שלילי ולכן, גם ערכי הפונקציה , עדין שלילים. הפוקנציה חוזרת להיות חיובית, ברביע הרביעי, כאשר היא חוצה את הזווית ושוב נמצאת בצידו הימין של מעגל היחידה.
הפוקנציה שומרת על ערכה בכל סיבוב () ולכן, היא פונקצית מחזורית.

לסיכום, ארבע מוקדים מרכזים לפונקצית הקוסינוס, הזוויות , , ו-. שני מוקדים () שמחלקים את מעגל היחידה לתחום חיובי שלילי וכך, בהתאם לגרף. שני מוקדים (, ) המהוויים נקודת קיצון, בהתאם למיקום בציר (מעל או מתחת לנקודת אפס).

פונקציה זוגית[עריכה]

Trigonometric Functions of Any Angle Example 2.svg

פוקצית הקוסינוס היא פונקציה זוגית מפני שערכי משני צדי מעגל היחידה שווים, .

פונקציה זוגית, היא פונקציה סימטרית ביחס לציר השיקוף (במקרה, של פונקצית קוסינוס, ציר ה- מהווה ציר סימטריה), כלומר, אם נקפל את הגרף בציר נקבל שיקוף (שני צידה הגרף יהיו חופפים זה לזה). למשל, אם קיימת הנקודה מצדו השני של הגרף, תופיע הנקודה . במשוואה : .

התכונה נובעת מכך שערכי הזוויות בחלקו הימין של מעגל היחידה זהים בהתאמה, לזוויות בצידו השני של מעגל היחידה, כפי שראינו .

תרגול (לקוח מבגרות במתמטיקה 006, חורף תש"ע)[עריכה]

הראה כי הפונקציה היא פונקציה זוגית.



1leftarrow.png פונקצית הטנגנס