מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
דוגמא לאסימפטוטה

אסימפטוטה הינה קו גבול אליו הפונקציה מתקרבת יותר ויותר כאשר ערכי ה-x מתקרבים לאינסוף או לאיזור שאינו בתחום ההגדרה. את האסימפטוטות מחלקים לשתי קטגוריות  :

אסימפטוטה אופקית[עריכה]

  1. מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
  2. שלושת המצבים :
    • y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
    • אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
    • אסימפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
  3. רשימת הערכים בהם :
    • .
    • .
  4. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות y אסימפטוטת בפונקציה.

התנהגות[עריכה]

הגדרה:

התנהגות פונקציה בסביבה בה יש אסימפטוטה : ערך x של הפונקציה שואף להיות אינסוף (או למינוס אינסוף). כלומר, הפונקציה תרצה להיות הכי קרובה שהיא יכולה אסימפטוטה, לכן היא שואפת להיות במרחק של אינסוף.

דוגמה[עריכה]

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



Nuvola apps kcmsystem.png דף זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסטנדרטים של ויקיספר העברי
לצורך זה ייתכנו סיבות אחדות: פגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון הטעון שיפור או צורך בהגהה. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.



ניקח את הפונקציה ונבדוק בה אסימפטוטות אנכיות ואופקית.

פישוט ותחום הגדרה[עריכה]

כדי להקל על מציאת תחום ההגדרה והשימוש בפונקציה בהמשך, נפשט את הפונקציה. כאן הפישוט ייעשה על ידי הוצאת גורם משותף במונה ופירוק הטרינום במכנה.

אחרי הפירוק קל מאוד לראות שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא .

אסימפטוטה אנכית וחור[עריכה]

מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? מכיוון שפירקנו גם את המונה, קל לראות מיידית שרק ‎ הוא אסימפטוטה, לעומת שהוא חור, כי הוא מאפס גם את המונה. ‏ כעת נבדוק (בעזרת הטבלה) לאן שואפת הפונקציה (לאלו ערכי y) בסביבת האסימפטוטה שגילינו. ‏

גזירה[עריכה]

לצורך הצבת ערכים מתאימים בטבלה עלינו להציב גם את נקודות הקיצון של הפונקציה בטבלה, כך שלא נטעה ונבחר נקודה שבינה לבין האסימפטוטה יש נקודת קיצון, מה שיגרום לנו לטעות לגבי כיוון הפונקציה באזור האסימפטוטה. לשם כך נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה לגזירת מנת פונקציות (ונפשט להקלת השימוש בהמשך).

נקודות קיצון[עריכה]

אחרי הפישוט, קל מאוד למצוא את נקודות הקיצון:









אם כן גילינו נקודת קיצון אפשרית אחת. בשיטה הקלאסית היינו גוזרים את הפונקציה שנית כדי לגלות אם זו אכן נקודת קיצון או רק נקודת פיתול, אבל כעת כשממילא נשתמש בטבלה, הדבר מיותר, כפי שנראה.

בניית הטבלה[עריכה]

מדיה:Example.ogg