בפרק זה נדגים באמצעות תרגילים את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות בכדי לישם את החומר הנלמד.

מורכבות

תרגיל א

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\sin(3x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$ , כלומר, $f(x)'=[\sin(3x)]'\cdot (3x)'$ . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x)$

תרגיל ג' - רצוי לזכור

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\sin ^{2}(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$ , כלומר, $f(x)'=([\sin(x)]^{2})'\cdot [\sin(x)]'$ . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=2\sin(x)\cdot \cos(x)$ . על-פי זהות הנגזרת של הפונקציה שווה $f(x)'=\sin(2x)$

תרגיל ד'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\cos ^{3}(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$ , כלומר, $f(x)'=([cos(x)]^{3})'\cdot [\cos(x)]'$ . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=-3\cos ^{2}(x)\cdot \sin(x)$ .

תרגיל ה' *

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)=\cos(x^{2}-2x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של פונקציה מורכבת: $\ u\cdot v=v'\cdot u\cdot u'$ , כלומר, $f(x)'=([\cos(x^{2}-2x)])'\cdot (x^{2}-2x)'$ . נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=-\sin(x^{2}-2x)\cdot (2x-2)$ .
נשווה את הפונקציה לאפס ונפתור. לפתרון מלא לחץ כאן

עוד תרגילים

$3\sin(4x)$
$\cos(x^{2})$

פתרונות

$3\cos(4x)\cdot 4=12\cos(4x)$
$-\sin(x^{2})\cdot 2x$

מכפלה של פונקציות

תרגיל ב'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=2x\cdot \sin(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ . נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=2\sin(x)+2x\cdot \cos(x)$

תרגיל ה'-רצוי לזכור

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ . נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'=\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot \sin(x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)$ . על-פי זהות הנגזרת שווה $f(x)'=\cos(2x)$

תרגיל ז'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)={\sqrt {x}}\cdot \sin(x)$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מכפלה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מכפלה: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ . הפונקציה מורכבת מפונקציה טריגונומטרית ופונקציה חזקה (נגזרתה: $({\sqrt {x}})'={\frac {x'}{\cdot }}{2{\sqrt {x}}}$ ). נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\cdot \sin(x)+{\sqrt {x}}\cdot \cos(x)={\sqrt {x}}\cdot \left[{\frac {\sin(x)}{2x}}+\cos(x)\right]$ .

עוד תרגילים

$x\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)$

פתרונות

בפועל: $f(x)'=(x)'\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)+x\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)'$ כלומר,

$f(x)'=1\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)+x\cdot -\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot {\frac {1}{2}}$ . שימו לב, הנגזרת של $\left[\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\right]'=-\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \left[{\frac {x}{2}}\right]'$ . הנגזרת של ${\frac {x}{2}}$ היא נגזרת של פונקצית מנה ולכן $\left[{\frac {x}{2}}\right]'={\frac {1\cdot 2-x\cdot 0}{4}}={\frac {1}{2}}$ .

מנה של פונקציות

תרגיל ו'

מצא את הנגזרת של הפונקציה $f(x)={\frac {x}{\cos(x)}}$

פתרון

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הנה מנה של פונקציות ולכן, נעזר בכלל של נגזרת של מנה: $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$ . נגזור ונקבל את הנגזרת: $f(x)'={\frac {\cos(x)+x\cdot \sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}$ .

עוד תרגילים

${\sqrt {\sin(x)}}$

פתרונות

$\left[{\sqrt {f(x)}}\right]'={\frac {f(x)'}{2{\sqrt {f(x)}}}}$ , כלומר, $\left[{\sqrt {\sin(x)}}\right]'={\frac {[\sin(x)]'}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}={\frac {\cos(x){\sqrt {\sin(x)}}}{2\sin(x)}}$