מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית

פונקצית שבר וכלל הגזירה מנה של פונקציות

תבנית $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$ תחום הגדרה ותנאים מקדמים $g(x)\neq 0$ חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ נציב $y=0$ ונפתור משוואה עם שברים חיתוך עם ציר $y$ הצבה $x=0$. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים: חיתוך עם ציר $y$ - פתרון יחיד. אין חיתוך עם ציר $y$ - משוואה לא-הגיונית, כמו למשל $2=0$. נקודת הקיצון גזירת הפונקציה באמצעות נגזרת של פונקציה רציונאלית: $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f(x)'\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)'}{[g(x)]^{2}}}$ מציאת ערכי $x$ של הנקודות - השוואה לאפס ($f'(x)=0$). מציאת ערכי $y$ של הנקודות- את ערכי ה- $y$ נמצא על-ידי הצבת ערכי ה- $x$ במשוואה הפונקציה המקורית. יש לדעת חילוק ארוך של פולינומים נקודות פיתול מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון: נבצע גזירה. נגזרת של פונקציה רציונאלית: $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f(x)'\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)'}{[g(x)]^{2}}}$ נשווה נגזרת לאפס. נפתור את המשוואה. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד". מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה פונקציה רציונלית בעלת מונה ומכנה. על-פי נוסחת הנגזרת של פונקציה רציונאלית, המכנה $g(x)$ תמיד חיובי (מפני שמעלים אותו בשנייה). לפיכך ערך הנגזרת השנייה תלוי במונה בלבד. כאשר המונה יהיה: חיובי: הפונקציה תרד. שלילי: הפונקציה תעלה. אפס: נקודה חשודה לפיתול. למשל, מהו ערך הנגזרת $f(x)={\frac {2x+2}{(x+1)^{2}}}$ בנקודה $(0,1)$. נציב במונה את ערך הנקודה : $2*0+2=2\rightarrow +$, הנגזרת חיובית! במילים אחרות, ניתן לבצע גזירה עבור מונה בלבד. בדרך זו נקצר תהליך גזירה ארוך. בדרך כלל נצטרך להכיר שיטה זו בתרגילים עם פרמטרים. ראה לדוגמה מתמטיקה, קיץ, תשס"ז, שאלון 006 אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית לציר $x$ אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המאפסות את המכנה אך לא את המונה. אם המונה מאופס סימן שמדובר בחור. אסימפטוטה אופקית מציאת ערך ה- $x$ הגדול ביותר בפונקציה. שלושת המצבים : $y=0$ (מתלכדת עם ציר ה- $x$ בגרף) - כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס). אין אסימפטוטה המקבילה לציר $x$ - כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית. אסיפטוטה $y$ היא ערך מקדמי ה- $x$ הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית. רשימת הערכים בהם : $\lim _{x\to \infty }$. $\lim _{x\to -\infty }$. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות $y$ אסימפטוטת בפונקציה. תחומי עליה וירידה נעזר בטבלה בה נציב : נקודות הקיצון החשודות על פי סדר עולה ואת נקודות תחום ההגדרה. נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות. נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר : ערכי הנגזרת ($y'$) חיובים - הפונקציה עולה. ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת. נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום, מקסימום, פיתול וכו'. נמצא תחומי עליה וירידה תחום שלילי וחיובי את תחומי החיוביות ושליליות נכתוב רק לאחר ששרטטנו את הגרף. אנחנו מביטים על הגרף ומחפשים: איפה יש לפונקציה נק' חיתוך עם ציר הX? כשגרף הפונקציה נמצא מעל לציר הX זהו תחום חיובי, וכשגרף הפונקציה נמצא מתחת לציר הX זהו תחום שלילי.