מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול

הקדמה

נקודת פיתול היא נקודה המהווה מעבר מעליה לעליה או מירידה לירידה, כפי שמתואר בגרף. נקודת פיתול אינה נקודת קיצון, אולם, דרך מציאתה דומה לדרך מציאת נקודת קיצון, באמצעות שיפוע המשיק.

מושגים

בגלל הבלבול הרב בין קעירות לקמירות, הוחלט במשרד החינוך להשתמש במושג "קעירות כלפי מעלה" ו-"קעירות כלפי מטה". כמו גם, בבגרות מצויירת הצורה.

• 
  פונקציה קעורה כלפי מעלה- פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מעל לגרף הפונקציה.
• 
  פונקציה קעורה כלפי מטה- פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.
• 
  נקודת פיתול - נקודה שבה הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה, או להפך.

ההגדרה בהקדמה לא נכונה. נקודת פיתול אינה נקודת מעבר מעליה לעליה או מירידה לירידה.

נקודות פיתול שהמשיק דרכן מקביל לציר $x$

שלבים

השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון רק שהם כולם חלים על נגזרת שנייה במקום ראשונה:

1. נבצע גזירה ראשונה (נקודת קיצון).
2. נבצע גזירה שניה (עבור סוג נקודת קיצון על פי המשפט אם הנגזרת מסדר אי-זוגי התאפסה סימן שמדובר בנקודת קיצון וכן עבור בדיקה למציאת נקודות פיתול). ניתן לגזור את המונה בלבד אם ורק אם המכנה חיובי (כלומר בחזקה וכדומה) עבור בדיקת סוג נקודת הקיצון. עבור נקודת פיתול צריך גזירה מלאה.
3. נשווה נגזרת שניה ל-0.
4. נפתור את המשוואה.
5. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה
   • הצבה בנגזרת ראשונה בדומה לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה תעלה ותעלה או תרד ותרד. דרך זו עדיפה.
   • הצבה בנגזרת שניה - אם נגזרת התאפסה והיא מסדר זוגי (כלומר זו הנגזרת השניה, הרביעית, השישית) ואחריה הנגזרת מסדר אי-זוגי לא התאפסה הנקודה היא נקודת פיתול.
6. נמצא את שיעורי $y$ של הנקודה.

דוגמה בכאן

דוגמה

נבצע גזירה לפונקציה: $f(x)=x^{3}-6x^{2}+2$

נגזרת ראשונה: $f'(x)=3x^{2}-12x$

נגזרת שניה: $f''(x)=6x-12$

נשווה נגזרת שניה ל-0: $6x-12=0$

נפתור את המשוואה: $x=2$

נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה:

3	2	1	$x$
$3\cdot 3^{2}+2=29\rightarrow +$	נקודה חשודה כפיתול	$3\cdot 1^{2}+2=5\rightarrow +$	$y'$
עולה	פיתול	עולה	$y$

לחילופין נגזור פעם שלישית: $f^{(3)}(x)=6\rightarrow +$. מאחר והנגזרת היא מסדר אי-זוגי (כי זו הנגזרת השלישית שלנו) והיא לא התאפסה, הנקודה שלנו היא נקודת פיתול

תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה

את תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה מגלים על פי הטבלה ורושמים באופן זהה לתחומי עליה וירידה.