חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגולים

חשבון אינפיניטסימלי

דף זה מיועד לקריאה לאחר שעברתם על כל החומר התיאורטי בפרק זה, והוא מכיל מעט תיאוריה ומספר תרגילים פתורים. לאחר שתסיימו אותו, אתם מוזמנים לתרגל את החומר בעצמכם כאן.

פונקציות

הגדרה פונקציה היא התאמה של איברים מקבוצה הנקראת "תחום הגדרת הפונקציה" (או בקיצור: תחום) לקבוצה הנקראת "טווח הפונקציה" (או בקיצור: טווח) בצורה כזו שלכל איבר מהתחום מותאם איבר יחיד מהטווח. במילים אחרות, התחום הינו קבוצת כל האיברים עליהם ניתן להפעיל את הפונקציה (שהפונקציה יכולה לקבל), והטווח הינו קבוצת כל הערכים שהפונקציה יכולה להחזיר.

נהוג לסמן פונקציות על ידי אותיות לועזיות, ובפרט האותיות $f,g,h$. עם זאת, בשימושים שונים של פונקציות ייתכנו סימנים אחרים.

הסימון $f:D\to E$ מתאר פונקציה על ידי תיאור שלושת מרכיביה: סימון הפונקציה $f$, תחום הפונקציה $D$ וטווח הפונקציה $E$

הביטוי $f(x)$ בא לתאר את הפעלת הפונקציה $f$ על האיבר $x$. הפעלה זו מחזירה איבר יחיד מהטווח, כלומר לא קיימים $y_{1}\neq y_{2}$ כך ש- $f(x)=y_{1}$ וגם $f(x)=y_{2}$. כאשר $f(x)=y$ אומרים כי $y$ הוא התמונה של האיבר $x$ על ידי הפונקציה $f$.

נציג מספר דוגמאות לפונקציות:

1. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ המוגדרת על ידי $f(x)=x^{2}$.
2. $g:\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ המוגדרת על ידי $g(x)={\frac {1}{x}}$.
3. $h:\{1,2,3\}\to \mathbb {R}$ המוגדרת על ידי $h(x)=0$.

אם $A$ היא קבוצה, התמונה של $A$, המסומנת על-ידי $f(A)$, היא הקבוצה $\{y|\exists x\in A:f(x)=y\}$. כלומר, זו הקבוצה של כל התמונות של אברי $A$.

התמונה של תחום הפונקציה כולו נקראת "תמונת הפונקציה". נשים לב כי תמונת הפונקציה אינה בהכרח הטווח כולו. למשל, עבור הפונקציה מדוגמה מס' 1 מתקיים $f(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$, כי פונקציה זו מעתיקה כל מספר למספר חיובי או אפס.

ההפרדה בין תמונת הפונקציה והטווח אינה שרירותית: למשל, לעתים קל לתאר את הטווח של פונקציה אבל קשה לתאר את תמונתה. בהמשך גם נראה שההפרדה בין טווח ותמונה חשובה כאשר עוסקים בפונקציות הופכיות.

פונקציות חד-חד ערכיות ופונקציות על

נתאר כעת שתי תכונות חשובות שיכולות לאפיין פונקציה.

פונקציה חד-חד ערכית

נוהגים לקרוא לפונקציה חד-חד ערכית או אינג'קטיבית אם לא קיימים שני איברים בתחום בעלי אותה תמונה. כלומר, פונקציה $f:D\to E$ היא חד-חד ערכית אם לא קיימים $x_{1},x_{2}\in D$ כך ש-$f(x_{1})=f(x_{2})$.

בניסוח שונה אך שקול ניתן לומר כי $f$ חד-חד ערכית אם ורק אם לכל$x_{1},x_{2}\in D$ מתקיים $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.

ניתן לחשוב על פונקציה חד-חד ערכית כעל פונקציה שלא מאבדת מידע. למשל, הפונקציה $f(x)=0$ ששולחת כל איבר לאפס אינה חד חד ערכית, והיא מאבדת מידע - אם נדע מהי התמונה של איבר כלשהו על ידיה לא נוכל לשחזר את אותו איבר. לעומת זאת, עבור פונקציה חד-חד ערכית נוכל לבצע שחזור שכזה כי אנחנו יודעים שלכל איבר בתמונה מתאים איבר בודד בטווח.

פונקציה על

נאמר על פונקציה $f:D\to E$ שהיא על או סורג'קטיבית אם הטווח והתמונה שלה זהים, כלומר $f(D)=E$. פירוש תכונה זו היא שהפונקציה "מכסה" את הטווח כולו.

בניסוח פשוט יותר, פונקציה היא על אם לכל $y\in E$ קיים $x\in D$ כך ש-$f(x)=y$.

פונקציה הפיכה

פונקציה $f:D\to E$ שהיא גם חד-חד ערכית וגם על נקראת פונקציה הפיכה או ביג'קטיבית. פירוש ה"הפיכות" של הפונקציה הוא שקיימת פונקציה אחרת, המסומנת $f^{-1}:E\to D$ כך ש- $f^{-1}(f(x))=x,f(f^{-1}(y))=y$ - כלומר, כל אחת מהפונקציות מבטלת את פעולתה של השנייה.

את $f^{-1}$ ניתן להגדיר במפורש כך: $f^{-1}(y)=x$ אם ורק אם $f(x)=y$. מהגדרה זו נוכל לראות למה $f$ חייבת להיות חד-חד ערכית ועל:

אם $f$ אינה חד-חד ערכית, קיימים $x_{1},x_{2}\in D$ כך ש-$f(x_{1})=f(x_{2})=y$, ואז לא ברור כיצד להגדיר את $f^{-1}(y)$. האם להגדיר $f^{-1}(y)=x_{1}$ או $f^{-1}(y)=x_{2}$? כזכור, אנחנו חייבים להגדיר את התמונה של $y$ בצורה יחידה ולכן לא ניתן לקבל את שתי האפשרויות.

אם $f$ אינה על, קיים $y\in E$ כך שלא קיים $x\in D$ שעבורו $f(x)=y$. לכן שוב לא ברור כיצד להגדיר את $f^{-1}(y)$ - אין אף איבר שמתאים למטרה זו.

פונקצית הערך המוחלט

הגדרה: פונקצית הערך המוחלט $f(x)=|x|:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ מוגדרת באופן הבא:

$|x|=\left\{{\begin{matrix}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{matrix}}\right.$ 

תכונות הערך המוחלט:

1. $|xy|=|x||y|$
2. $|-x|=|x|$
3. אי-שוויון המשולש: $|x+y|\leq |x|+|y|$
4. $-y\leq x\leq y\ \Leftrightarrow \ |x|\leq y$

נוח לחשוב על $|x|$ כעל המרחק של $x$ מהאפס. בצורה דומה, $|x-x_{0}|$ הוא המרחק של $x$ מהאיבר $x_{0}$.

דוגמאות: אי-שוויונות עם ערך מוחלט:

1) פתרו בצורה גרפית את אי השיוויון: $|x+2|<4$.
פתרון: נוח לחשוב על השאלה באופן הבא: מצאו את כל ה- $x$-ים שמרחקם מ- $-2$ קטן מ- $4$. כלומר, הפתרון יראה כך: .
לכן נקבל: $x\in (-6,2)$.

2) צ"ל (צריך להוכיח): אם $|x-2|<{\frac {1}{2}}$, אזי: $\left|{\frac {x^{2}-3x}{2x-6}}-1\right|<{\frac {1}{4}}$.
פתרון: $\left|{\frac {x^{2}-3x}{2x-6}}-1\right|=\left|{\frac {x^{2}-5x+6}{2(x+3)}}\right|=\left|{\frac {(x-2)(x-3)}{2(x-3)}}\right|={\frac {|x-2|}{2}}$. נשים לב, שבמונה קיבלנו את הביטוי המופיע בנתון, לכן נוכל להציב את שידוע לנו. נקבל: $\left|{\frac {x^{2}-3x}{2x-6}}-1\right|={\frac {|x-2|}{2}}<{\frac {\frac {1}{2}}{2}}={\frac {1}{4}}$ והוכחנו את הטענה. ▪

3) צ"ל: אם $|x+1|<{\frac {1}{2}}$, אזי: $\left|{\frac {2x+2}{x-1}}\right|<{\frac {2}{3}}$.
פתרון: ראשית, לפי הנתון: $\left|{\frac {2x+2}{x-1}}\right|=\left|{\frac {2(x+1)}{x-1}}\right|<{\frac {2\cdot {\frac {1}{2}}}{|x-1|}}={\frac {1}{|x-1|}}$
כעת, נעריך את הביטוי $|x-1|$:

(מהנתון) $|x+1|<{\frac {1}{2}}\qquad$

$-{\frac {1}{2}}<x+1<{\frac {1}{2}}\qquad \backslash -2$

$-{\frac {5}{2}}<x-1<-{\frac {3}{2}}\qquad \backslash \cdot (-1)$

${\frac {3}{2}}<1-x<{\frac {5}{2}}$

כעת: כל הביטויים שקיבלנו חיוביים, בפרט $1-x$. לכן, ניתן להפעיל אליו את פונקצית הערך המוחלט מבלי לשנות את ערכו (זיכרו את ההגדרה של הפונקציה עבור מספרים חיוביים!) ונקבל:

${\frac {3}{2}}<|1-x|<{\frac {5}{2}}$

והרי גם

$|1-x|=|x-1|$

ולכן קיבלנו

${\frac {1}{|x-1|}}<{\frac {2}{3}}$

כלומר קיבלנו: ▪ $\left|{\frac {2x+2}{x-1}}\right|<{\frac {1}{|x-1|}}<{\frac {2}{3}}\ \Rightarrow \ \left|{\frac {2x+2}{x-1}}\right|<{\frac {2}{3}}$

פונקצית הערך השלם

פונקצית הערך השלם מקבלת מספר כלשהו $x$, ומחזירה מספר כלשהו $z$, המקיים:

1. $z<x$ או $z=x$
2. $z$ הוא השלם הגדול ביותר המקיים את תנאי מספר 1.

סימון: $f(x)=[x]\in \mathbb {Z}$
ר' גם את הגדרת הפונקציה כאן (סעיף 3.1)

קבוצות וסוגי מספרים

קבוצות המספרים שהכרנו בדפי התאוריה: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$.
משפטים חשובים שראינו:

1. ${\sqrt {2}}$ הוא אי-רציונלי, כלומר לא ניתן לבטא אותו כמנה של שני שלמים.
2. בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי ומספר אי-רציונלי.

דוגמה: הראי כי ${\sqrt {3}}$ אינו רציונלי.
הוכחה (פתרון): לשם כך ניעזר בלמה:,

אם $m^{2}$ מתחלק ב-3, אזי: גם $\ m$ מתחלק ב-3.

הוכחת הלמה: יהא $m\in \mathbb {Z}$ כלשהו. אז יש עבורו שלוש אפשרויות:
${\begin{matrix}\mathbf {m} &\mathbf {m^{2}} \\3k&9k^{2}\\3k+1&(9k^{2}+6k)+1\\3k+2&(9k^{2}+12k)+4\end{matrix}}$
קל לראות, שהביטויים שבתוך הסוגריים מתחלקים ב-3, ואילו הביטויים שאינם בתוך הסוגריים - לא. לכן, האפשרות היחידה עבור $m^{2}$ להתחלק ב-3 היא אם $m$ עצמו מתחלק בו.▪
ונעבור להוכחת הטענה: כמו בחלק של התיאוריה, נניח בשלילה כי ${\sqrt {3}}$ הוא רציונלי ונגיע לסתירה: יהיו $m,n\in \mathbb {Z}$ כך ש- $n\not =0$ ו- $m,n$ זרים (כלומר ${\frac {m}{n}}$ שבר מצומצם). כעת:

${\sqrt {3}}={\frac {m}{n}}\qquad \backslash ()^{2}$ $3={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\quad$ $3n^{2}=m^{2}\quad (*)$

$m^{2}\ \Leftarrow$ מתחלק ב-3 $m\Leftarrow$ מתחלק ב-3. לכן, קיים $k\in \mathbb {Z}$ שעבורו מתקיים: $m=3k$. ונקבל:

$3n^{2}=m^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}$ $n^{2}=3k^{2}$

$n^{2}\Leftarrow$ מתחלק ב-3 $n\Leftarrow$ מתחלק ב-3. קיבלנו סתירה להנחה ש- ${\frac {m}{n}}$ שבר מצומצם - מ.ש.ל. ▪