מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית

פונקציה ריבועית או פרבולה.

תבנית $y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$ $y=ax^{2}+bx+c$ הפונקציה מורכבת משלושה משתנים: קודקוד או מוקד (נקודת הקיצון) ונוסחתו (${\frac {b}{2a}},{\frac {-\Delta }{4a}}$) ישר הסימטריה או ישר מנחה הוא ישר המקביל לציר $y$ ועובר דרך קודקוד הפרבולה. ישר מנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה. ככל שערך המוחלט של המקדם $a$ גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל שערכו גדל כך הפרבולה עולה במעלה ציר $y$, ולהפך. ככל שערך $c$ קטן, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר $y$. כאשר $b$ שלילי – הפרבולה זזה לכיוון ימין כאשר $b$ חיובי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל. תחום הגדרה ותנאים מקדמים $a\neq 0$ כנלמד בפרק חקירת פונקציה ריבועית, פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת לפונקציה לינארית ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם $a$. הפונקציה הריבועית, כמו כל פולינום, מוגדרת לכל $x$. חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ בדיקה סוג הפרבולה ישרה ($a>0$) או הפוכה ($a<0$). הצבה $y=0$ בפונקציה. מציאת ערכי $x$ עבורם $y=0$ באמצעות פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה (טרינום, פירוק לגורמים ועוד). שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה"). המקדם של הפרבולה $y=x^{2}+6x+9$ הוא $1*x^{2}$. מאחר ש-$1>0$ הפרבולה ישרה $a>0$. נציב $y=0$ בפונקציה $0=x^{2}+6x+9$ נעזר בנוסחת הכפל המקוצר $(x+3)^{2}=0$. נקבל $x=-3$. נקודת החיתוך עם ציר ה-$x$ היא $(-3,0)$ נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9 כמה נקודות חיתוך דוגמא לשלושת המצבים בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-$x$ פתרנו את המשוואה $\Delta =b^{2}-4ac$. בהתאם להסבר בחקירת משוואה ממעלה שנייה כאשר: כאשר $\ \Delta >0$ יש שתי נקודות חיתוך. כאשר $\ \Delta =0$ יש נקודת חיתוך אחת. כאשר $\ \Delta <0$ אין נקודות חיתוך. על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה $y=0$ במשוואת הפונקציה ולמצוא את $x$. נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה $y=x^{2}+6x+9$ עם ציר ה-$x$: נמצא דלתא : $\Delta =6^{2}-4*9$ נפתח : $\Delta =36-36$ נצמצם : $\Delta =36-36=0$ המצב : $\ \Delta =0$, כלומר לפונקציה $y=x^{2}+6x+9$ יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-$x$. חיתוך עם ציר $y$ הצבה $x=0$. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים : חיתוך עם ציר $y$ - פתרון יחיד. אין חיתוך עם ציר $y$ - משוואה לא הגיונית, כמו למשל $2=0$. נקודת הקיצון דרך א' ערך הנקודה שיעור $x$ של קודקוד הפרבולה : $x={\frac {-b}{2a}}$. שיעור $y$ של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה-$x$ במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה $y=(x\pm b)^{2}+c$ קודקוד הפרבולה $(x_{c},c)$ סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם $a$. כאשר: מנמום ($a>0$). מקסימום ($a<0$). נציב במשוואה $x={\frac {-b}{2a}}$ את הנתונים של הפונקציה $y=x^{2}+6x+9$ $x={\frac {-6}{2*1}}=-3$ נציב את ערך ה-$x$ במשוואת הפונקציה $y=(-3)^{2}+6*-3+9$ ונקבל $(-3,0)$. מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות $y=(x\pm b)^{2}+c$, יכול לגלות את ערך ה-$y$ בקלות יתרה: $y=(x+3)^{2}+0$ ערך ה-$y$ הוא $c=0$. מקדם ה-$x$ הוא חיובי ($1*x$) הפונקציה היא ישרה ($a>0$) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום. במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה. דרך ב' מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים : גזירה על פי חוקי גזירת חזקה מציאת ערך ה-$x$ - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון. מציאת ערך ה-$y$ - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-$x$. זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם $a$. נבצע גזירה לפונקציה $y=x^{2}+6x+9$ על פי גללי גזירת חזקה. נקבל $y'=2x^{2-1}+6$. נשווה לאפס $0=2x+6$ נקבל כי נקודת הקיצון היא $x=-3$. נציב את ערך ה-$x$ בפונקציה ונקבל $y=(-3)^{2}+6*-3+9$. נקודת הקיצון המתקבלת היא $(-3,0)$. מקדם ה-$x$ הוא חיובי ($1*x$) הפונקציה היא ישרה ($a>0$) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום. נקודות פיתול אין תחום שלילי וחיובי מציאת נקודות חיתוך עם ציר $x$. שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה. קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון התחום הנדרש : מעל ציר $x$ - תחום חיובי. מתחת ציר $x$ - תחום שלילי. תחומי עליה וירידה על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט. פתירת משוואה פרבולה ישרה - יורדת כאשר $x<{\frac {-b}{2a}}$ ועולה כאשר $x>{\frac {-b}{2a}}$. פרבולה הפוכה - יורדת כאשר $x>{\frac {-b}{2a}}$ ועולה כאשר $x<{\frac {-b}{2a}}$. אסימפטוטות אין