מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
[ עריכה ] טרינום ריבועי הינו רב-אבר מהצורה:
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
במהלך פעולת הפירוק אנו מחפשים שני בינומים (דו-אברים, או פולינומים שבהם שני אברים בלבד),
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
גורמי הטרינום:
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle (x-x_{1})}
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle (x-x_{2})}
שורשי הטרינום:
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
דוגמה 1: הטרינום עבור
x
2
−
3
x
−
10
{\displaystyle x^{2}-3x-10}
(
x
+
2
)
(
x
−
5
)
{\displaystyle (x+2)(x-5)}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
[ עריכה ] ראשית נשם לב כי הנעלם
a
{\displaystyle a}
x
2
−
3
x
−
10
{\displaystyle x^{2}-3x-10}
a
{\displaystyle a}
כאשר אנו רוצים לפרק לגורמים של תלת איברי ריבועי עלינו למצוא זוג של מספרים שהמכפלה שלהם שווה לאיבר
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
[ עריכה ] נרשום את כל המכפלות של שני מספרים השווים
c
{\displaystyle c}
−
10
{\displaystyle -10}
β
{\displaystyle \beta }
α
{\displaystyle \alpha }
10
{\displaystyle 10}
−
1
{\displaystyle -1}
−
10
{\displaystyle -10}
1
{\displaystyle 1}
5
{\displaystyle 5}
−
2
{\displaystyle -2}
−
5
{\displaystyle -5}
2
{\displaystyle 2}
נחפש ברשימה זוג איברים אשר סכומם הוא שווה למקדם
b
{\displaystyle b}
−
3
{\displaystyle -3}
נפרק את תלת איבר הריבועי :
x
2
−
20
x
+
99
{\displaystyle x^{2}-20x+99}
נרשום את כל המכפלות של שני מספרים השווים
c
{\displaystyle c}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
α
+
β
{\displaystyle \alpha +\beta }
1
{\displaystyle 1}
99
{\displaystyle 99}
100
{\displaystyle 100}
−
1
{\displaystyle -1}
−
99
{\displaystyle -99}
−
100
{\displaystyle -100}
3
{\displaystyle 3}
33
{\displaystyle 33}
36
{\displaystyle 36}
−
3
{\displaystyle -3}
−
33
{\displaystyle -33}
−
36
{\displaystyle -36}
9
{\displaystyle 9}
11
{\displaystyle 11}
20
{\displaystyle 20}
−
9
{\displaystyle -9}
−
11
{\displaystyle -11}
−
20
{\displaystyle -20}
נחפש ברשימה זוג איברים אשר סכומם הוא שווה למקדם
b
{\displaystyle b}
−
11
{\displaystyle -11}
−
9
{\displaystyle -9}
לפיכך
x
2
−
20
x
+
99
=
(
x
−
9
)
(
x
−
11
)
{\displaystyle x^{2}-20x+99=(x-9)(x-11)}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
[ עריכה ] במצב בו המקדם
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
3
x
2
+
9
x
+
6
{\displaystyle 3x^{2}+9x+6}
a
{\displaystyle a}
a
(
x
2
+
b
a
x
+
c
a
)
{\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)}
3
(
x
2
+
3
x
+
2
)
{\displaystyle 3(x^{2}+3x+2)}
3
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle 3(x+1)(x+2)}
הגורמים שלו הם:
3
{\displaystyle 3}
(
x
+
1
)
{\displaystyle (x+1)}
(
x
+
2
)
{\displaystyle (x+2)}
שורשי הטרינום הם
−
2
{\displaystyle -2}
−
1
{\displaystyle -1}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
[ עריכה ] בכדי לפרק לגורמים את הטרינום
7
x
2
−
7
x
−
42
{\displaystyle 7x^{2}-7x-42}
a
{\displaystyle a}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
7
x
2
−
7
x
−
42
=
7
(
⧸
7
x
2
⧸
7
−
⧸
7
x
⧸
7
−
42
7
)
=
7
(
x
2
−
x
−
6
)
{\displaystyle 7x^{2}-7x-42=7\left({\frac {\not 7x^{2}}{\not 7}}-{\frac {\not 7x}{\not 7}}-{\frac {42}{7}}\right)=7(x^{2}-x-6)}
כעת נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים בעזרת השיטה שלמדנו; אנו מחפשים זוג מספרים שמכפלתם היא
−
6
{\displaystyle -6}
−
1
{\displaystyle -1}
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
α
+
β
{\displaystyle \alpha +\beta }
1
{\displaystyle 1}
−
6
{\displaystyle -6}
−
5
{\displaystyle -5}
−
1
{\displaystyle -1}
6
{\displaystyle 6}
5
{\displaystyle 5}
2
{\displaystyle 2}
−
3
{\displaystyle -3}
−
1
{\displaystyle -1}
−
2
{\displaystyle -2}
3
{\displaystyle 3}
1
{\displaystyle 1}
הזוג הוא
2
{\displaystyle 2}
−
3
{\displaystyle -3}
x
2
−
x
−
6
{\displaystyle x^{2}-x-6}
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
{\displaystyle (x+2)(x-3)}
x
2
−
x
−
6
=
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
⇒
7
(
x
2
−
x
−
6
)
=
7
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
{\displaystyle x^{2}-x-6=(x+2)(x-3)\ \Rightarrow \ 7(x^{2}-x-6)=7(x+2)(x-3)}
במידה ולא נמצא טרינום עבור ניתן לבצע פירוק באמצעות נוסחאות וייטה .
