מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה

סיכום חקירת פונקציה ממעלה ראשונה

פונקציה ישרה או פונקציה לינארית או ממעלה ראשונה (ללא חזקה).

הגדרה פונקציה ממעלה ראשונה - פונקציה שניתן לתאר את היחס בין משתנה ה$x$ למשתנה ה$y$ על ידי משוואה ממעלה ראשונה. שם נוסף של הפונקציה הוא פונקציה לינארית מאחר שהתיאור הגרפי של פונקציה ממעלה ראשונה הוא קו ישר. קיימים פונקציות נוספות שהתאור הגרפי שלהם הוא קו ישר כמו פונקצית הערך המוחלט ופונקציה המוגדרת על תחום מפוצל תבנית משוואת הישר: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ או במשוואת הכללית $Ax+By+c=0$. נעדיף להציג את משוואות הישר בצורת המשוואה המפורשת: $y=mx+n$ ($m,n$ הם פרמטרים קבועים) על ידי בידוד המשתנה $y$. שימו לב: גזירה של משוואה כללית ($Ax+By+c=0$) נחשבת כמקרה של פונקציה סתומה. בפונקציה של משוואת הישר שני משתנים קבועים: פונקצית הישר מיוצגת על ידי קו ישר. בתמונה שלוש פונקציות לינאריות גאומטריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (m), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (n) שיפוע הישר (m) השיפוע של פונקציה ממעלה ראשונה חייב להיות $m\neq 0$. כאשר $m=0$ נקבל פונקציה קבועה שאינה תלויה ב$x$ פונקציות בעלות שיפועים זהים יקבלו זו לזו מקדם חופשי (n) פונקציות בעלות מקדמים חופשיים זהים יחתכו באותה נקודה על ציר ה- $y$ משוואת השיפוע: $m={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$ ${\displaystyle }$ או בהתאם לנלמד במשמעות השיפוע, אם נתונה הזווית $\alpha$ עם ציר ה-$x$, מתקיים: $\tan(\alpha )=m$ תצוגה גרפית התיאור הגרפי של פונקציה לינארית $y=mx+n$ הוא קו ישר. כאשר $m=0,n=0$ הישר מתלכד עם ציר ה-$x$. בנית טבלה על ידי הצבה של ערכי $x$ בהגדרת הפונקציה וקבלת ערכי $y$. כל זוג ערכי $x,y$ הוא נקודה. מציאת נקודת חיתוך עם הצירים. תיאור גרפי משמש במקרים בהם לא ניתן לפתור משוואה בצורה אלגברית. תחום הגדרה $x$ שייך לכל המספרים הממשים ($x\in \mathbb {R}$). מצב הדדי בין פונקציות ישרות מקבלים - שיפועים זהים, מקדמים חופשים שונים. מתלכדים -שיפועים ומקדמים זהים. נחתכים - שיפועים שונים. משיקים נצבות (90° מעלות) - הפונקציות חותכות זו את זו ויוצרות שיפוע של 90° מעלות. אם פונקציות ניצבות זו לזו, השיפועים שלהן מקיימים את הנוסחה : $m_{1}\cdot m_{2}=-1$. (הרחבה בנושא ראה, מצב הדדי בין פונקציות). חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ נציב $y=0$ במשוואה המפורשת. נפתור את המשוואה ממעלה ראשונה ונקבל פתרון יחיד $x={\frac {-n}{m}},m\neq 0$. נקודת החיתוך היא $(x={\frac {-n}{m}},0)$ $(m\neq 0)$ חיתוך עם ציר $y$ (לפחות אחת, אחרת מדובר בישר המאונך לציר $x$ שהוא אינו תוצר של משוואת פונקציה) המקדם החופשי (n) מייצגת את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר $y$. הרי אם נציב במשוואה המפורשת $y=mx+n$, $x=0$ נקבל $y=n$. לכן אין צורך להציב $x=0$ במשוואה. במילים אחרות, נקודת החיתוך עם ציר y היא $(0,n)$ דוגמה : נקודת החיתוך של הפונקציה $y=-2x+5$ היא $(0,5)$ תחומי עליה וירידה תכונות השיפוע m - מוסקות על סמך העובדה שמתקיים $m=tan\alpha$ - לפי תכונות אלו $m$ קובע את גודל וכיוון הזוויות בין פונקצית הישר לציר $x$ כאשר ככל שערך המוחלט של השיפוע גדול יותר, כך, הזוויות שתיווצר ברביע הראשון תהיה גדולה-תלולה יותר. אם השיפוע חיובי $m>0$ : הפונקציה עולה ולכן הזווית בין הישר וציר $x$ היא חדה. כלל שהשיפוע גדול יותר כך הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-x כלפי מעלה גדלה. אם השיפוע שלילי $m<0$ : הפונקציה יורדת ולכן הזווית בין הישר וציר $x$ היא קהה.כלל שהשיפוע גדול יותר כך הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-x כלפי מעלה גדלה. אם השיפוע $m=0$ (כלומר $y=n$) הפונקציה קבועה (פונקציה המקביל לציר $x$) ולכן הזווית בין הישר וציר $x$ היא שטוחה. אין חיתוך עם ציר $x$ אם $m={\frac {0}{x_{1}-x_{2}}}$ נקבל "שיפוע לא-מוגדר" והוא חותך את ציר ה$x$ בנקודה $(k,0)$. הגרף שנקבל יקביל לציר $x$ דהינו $x=k$ והזווית בין הישר וציר $x$ היא ישרה. זו אינה פונקציה. 1) פונקציה עולה (m>0) - כאשר m חיובי הזווית שתיווצר עם ציר $x$ תהיה חדה. 2) פונקציה יורדת (m<0)-כאשר m שלילי הזווית שתיווצר עם ציר $x$ תהיה קהה (דוגמא - פונקציה כחולה) פונקציה קבועה (m=0) - כאשר השיפוע שווה לאפס, הישר מקביל לציר $x$ או מתלכד עמו. תחום שלילי וחיובי נזהה אם הפונקציה עולה, יורדת או קבועה. נזהה את נקודות החיתוך עם ציר $x$. נקבע את התחומים: פונקציה עולה: התחום החיובי הוא התחום שבו $x$ גדול מערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. התחום השלילי הוא התחום שבו $x$ קטן מערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. בנקודת החיתוך עם ציר $x$ , תחום הפונקציה אינו חיובי ואינו שלילי. פונקציה יורדת, להיפך: התחום החיובי הוא התחום שבו $x$ ערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. התחום השלילי הוא התחום שבו $x$ גדול מערך ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר $x$. בנקודת החיתוך עם ציר $x$ , תחום הפונקציה אינו חיובי ואינו שלילי. פונקציה קבועה היא בעלת תחום עליה או ירידה אחד, בלבד. אם המקדם החופשי (n) חיובי אזי תחום הפונקציה הוא חיובי בלבד, ולהפך. אם המקדם החופשי (n) הוא שלילי אזי תחום הפונקציה הוא שלילי. נקדת הקיצון אין נקודות פיתול אין אסימפטוטות אין