מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
פונקציה ישרה או פונקציה לינארית או ממעלה ראשונה (ללא חזקה).

תבנית

(משוואה מפורשת).

שימו לב: גזירה של משוואה כללית () נחשבת כמקרה של פונקציה סתומה.

בפונקציה שני משתנים קבועים: שיפוע (m) ומקדם חופשי (n).

פונקציות בעלות שיפועים זהים יקבלו זו לזו
פונקציות בעלות מקדמים חופשיים זהים יחתכו באותה נקודה על ציר ה-
שלוש פונקציות לינאריות גאומטריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (m), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (n)


משוואת השיפוע: או בהתאם לנלמד במשמעות השיפוע, אם נתונה הזווית עם ציר ה-, מתקיים:


משוואת הישר:

תחום הגדרה

שייך לכל המספרים הממשים ().

מצב הדדי בין פונקציות ישרות
  1. מקבלים - שיפועים זהים, מקדמים חופשים שונים.
  2. מתלכדים -שיפועים ומקדמים זהים.
  3. נחתכים - שיפועים שונים.
    • משיקים
    • נצבות (90° מעלות) - הפונקציות חותכות זו את זו ויוצרות שיפוע של 90° מעלות. אם פונקציות ניצבות זו לזו, השיפועים שלהן מקיימים את הנוסחה : . (הרחבה בנושא ראה, מצב הדדי בין פונקציות).
חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר
  1. נציב במשוואה המפורשת.
  2. נפתור את המשוואה ממעלה ראשונה ונקבל פתרון יחיד.
חיתוך עם ציר

(לפחות אחת, אחרת מדובר

בישר המאונך לציר

שהוא אינו תוצר של משוואת פונקציה)

המקדם החופשי (n) מייצגת את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר .


הרי אם נציב במשוואה המפורשת ,

נקבל .

לכן אין צורך להציב במשוואה.

במילים אחרות, נקודת החיתוך עם ציר y היא

דוגמה : נקודת החיתוך של הפונקציה היא

תחומי עליה וירידה

קובע את גודל וכיוון הזוויות בין פונקצית הישר לציר

כאשר ככל שערך המוחלט של השיפוע גדול יותר, כך, הזוויות שתיווצר ברביע הראשון תהיה גדולה-תלולה יותר.

  • אם  : הפונקציה עולה ולכן הזווית בין הישר וציר היא חדה.
  • אם  : הפונקציה יורדת ולכן הזווית בין הישר וציר היא קהה.
  • אם (כלומר ) הפונקציה קבועה (פונקציה המקביל לציר ) ולכן הזווית בין הישר וציר היא שטוחה.
  • אם נקבל "שיפוע לא-מוגדר". הגרף שנקבל יקביל לציר והזווית בין הישר וציר היא ישרה. זו אינה פונקציה.
תחום שלילי וחיובי
  1. נזהה אם הפונקציה עולה, יורדת או קבועה.
  2. נזהה את נקודות החיתוך עם ציר .
  3. נקבע את התחומים:
    • פונקציה עולה: התחום החיובי הוא התחום שבו גדול מערך ה- של נקודת החיתוך עם ציר . התחום השלילי הוא התחום שבו קטן מערך ה- של נקודת החיתוך עם ציר . בנקודת החיתוך עם ציר , תחום הפונקציה אינו חיובי ואינו שלילי.
    • פונקציה יורדת, להיפך: התחום החיובי הוא התחום שבו ערך ה- של נקודת החיתוך עם ציר . התחום השלילי הוא התחום שבו גדול מערך ה- של נקודת החיתוך עם ציר . בנקודת החיתוך עם ציר , תחום הפונקציה אינו חיובי ואינו שלילי.
    • פונקציה קבועה היא בעלת תחום עליה או ירידה אחד, בלבד. אם המקדם החופשי (n) חיובי אזי תחום הפונקציה הוא חיובי בלבד, ולהפך. אם המקדם החופשי (n) הוא שלילי אזי תחום הפונקציה הוא שלילי.
נקדת הקיצון אין
נקודות פיתול אין
אסימפטוטות אין