לדלג לתוכן

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

מושגים חשובים[עריכה]

  • מספר טבעי - מספר שלם וחיובי (1, 2, 3, 4...)
  • מספר ראשוני - הוא מספר טבעי המתחלק ללא שארית בשני מספרים בלבד: בעצמו ובאחד, להבדיל ממספר פריק. (לדוגמה: 7 הוא ראשוני, הוא מתחלק ללא שארית רק ב-7 וב-1).
  • מספר פריק - הוא מספר טבעי שאפשר לכתוב אותו כמכפלה של שני מספרים טבעיים גדולים מ-1. מספרים אלה נקראים גורמים של המספר הנתון. (לדוגמה: המספר 14 הוא פריק מכיוון שאפשר לפרק אותו כמכפלה של 2 ו-7, ולכן 2 ו- 7 הם הגורמים של 14).

כל מספר שלם גדול מ-1 הוא ראשוני או פריק.

פירוק לגורמים של מספר[עריכה]

פירוק לגורמים של מספר הוא מציאת הגורמים הראשוניים שלו. ננסה למשל לפרק לגורמים את המספר 30.

30 הוא 3 כפול 10.
3 הוא מספר ראשוני, אך את עשר ניתן לפרק שוב.
10 הוא 2 כפול 5.
2 ו-5 שניהם מספרים ראשוניים ולכן סיימנו את הפירוק.
הגורמים הראשוניים של 30 הם 2, 3, ו-5. המשמעות היא ש 30 = 5*3*2.

נבחן דוגמה נוספת:

40 הוא 10 כפול 4.
4 הוא 2 כפול 2.
10 הוא 2 כפול 5.
הגורמים של 40 הם 2,2,2 ו- 5.
נשים לב שהגורם הראשוני 2 מופיע שלוש פעמים בפירוק!

ישנה שיטה לפירוק לגורמים של מספר. על פי השיטה נבדוק האם המספר מתחלק ב-2. אם כן, נרשום בצד 2 (2 הוא גורם של המספר) ונחזור על הפעולה. אם הוא אינו מתחלק ב-2 ניקח את המספר הראשוני הבא בתור, 3, ונבדוק אם הוא מתחלק בו. אם כן נרשום אותו בצד כגורם ונחלק בו. אם לא נעבור למספר הראשוני הבא - 5 וכן הלאה. להלן דוגמה:

פרק לגורמים את המספר 4620.
4620 מתחלק ב-2 (רשימת גורמים: 2)
נחלק את 4620 ב-2 ונקבל 2310.
2310 מתחלק ב-2 (רשימת גורמים: 2,2)
נחלק את 2310 ב-2 ונקבל 1155
1155 אינו מתחלק ב-2
1155 מתחלק ב-3 (רשימת גורמים 2,2,3)
נחלק את 1155 ב-3 ונקבל 385
385 אינו מתחלק ב-3
385 מתחלק ב-5 (רשימת גורמים 2,2,3,5)
נחלק את 385 ב-5 ונקבל 77
77 אינו מתחלק ב-5.
77 מתחלק ב-7 (רשימת גורמים 2,2,3,5,7)
נחלק את 77 ב-7 ונקבל 11.
11 הוא מספר ראשוני (רשימת גורמים 2,2,3,5,7,11)
מכיוון ש-11 הוא מספר ראשוני הפירוק הסתיים.

מה זה פירוק לגורמים?[עריכה]

באופן כללי - פירוק לגורמים היא פעולת מציאת הגורמים אשר מהם מורכבת מכפלה. מכיוון שאנו עוסקים באלגברה, נבין מהו פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי. לדוגמה:

a ו- (b+2) הם גורמים של

פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי, הוא פעולת מציאת הגורמים אשר מהם מורכב הביטוי האלגברי. אם הביטוי אינו ניתן להצגה כמכפלה, נאמר שהוא אינו פריק.

תרגיל לדוגמה:

האם (a+1) ו- b הם הגורמים של ab + 2b?

פתרון:

נכפיל את b ב- (a+1) ונקבל: . מכפלת הגורמים אינה נותנת ab + 2b ולכן הם אינם הגורמים של הביטוי.

בפרקים הבאים נלמד לפרק ביטויים אלגבריים לגורמים. כרגע נגלה שהגורמים של ab + 2b הם b ו- (a+2) .

למה זה טוב?[עריכה]

במסגרת לימודי האלגברה לבגרות במתמטיקה, נידרש לבצע פעולות שונות על ביטויים אלגבריים, ומשוואות אלגבריות. פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי הוא כלי שיעזור לנו בהמשך, ולכן חשוב לנו ללמוד אותו היטב.