מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה

מהי פונקציה?

פונקציה מבטאת את היחס שיש בין שתי קבוצות בעלות איברים, בין $\ x$ לבין $\ y$. לדוגמה, הפונקציה $\ y=x+2$ מציגה את הקשר בין $\ x$ ל-$\ y$, לפיו -$\ y$ גדול מ-$\ x$ ב-$\ 2$.

הקבוצה הראשונה נקראת קלט כי היא קולטת את המספרים (ערכי ה-$\ x$) והקבוצה השניה פלט אשר פולטת את הערכים המתקבלים (ערכי $\ y$).

כל הפונקציות שבהן נעסוק בספר זה הן פונקציות ממשיות, פונקציות המייצגות יחס בין מספרים ממשיים בלבד ומסומן $x\in \mathbb {R}$ [המספר $x$ שייך ($\in$) למספרים ממשיים ($\mathbb {R}$)].

תחום וטווח של פונקציה

בחלק זה נגדיר מה הם התנאים המחייבים שיהיו קיימים בין שתי קבוצות בכדי שהיא תחשב פונקציה.

כאמור כל פונקציה מקשרת לפחות בין שתי קבוצות של מספרים :

1. התחום (מבוטא באמצעות $x$) - קבוצת המספרים שהפונקציה יכולה לקבל.
2. הטווח (מבוטא באמצעות $y$) - קבוצה שמכילה את המספרים שהפונקציה יכולה להחזיר.

לא כל יחס בין $\ x$ ל-$\ y$ מייצג פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.

הגדרת הפונקציה: בהינתן קבוצת מספרים, פונקציה היא כלל (תנאי) שמתאים לכל איבר בקבוצת התחום איבר אחד ויחיד מקבוצת הטווח. במילים אחרות, עבור כל ערך של $\ x$ (תחום) קיים ערך $\ y$ (טווח) אחד ויחיד בלבד אותו הפונקציה מחזירה. כלומר לא יהיו שני ערכי $\ y$ עבור אותו $\ x$.  

• 

  פונקציה

• 

  לא פונקציה לערך $x$ קיימים שני ערכי $y$

כלל ההתאמה

הפונקציה מציגה את כלל התאמה לפיו מתקיים היחס בין שני איברים. ניתן לייצג פונקציה במספר דרכים.

פונקציה פשוטה

דרך ההצגה לפונקציה פשוטה היא באמצעות משוואה $\ y=f\left(x\right)$. מצד שמאל של המשוואה כתוב סימון הפונקציה, ובצד ימין כתוב כלל ההתאמה. לדוגמה, $\ y=2x$

בצורת סימון זו נהוג לחשוב על $\ y$ כעל משתנה כמו $\ x$, אך להבדיל מ-$\ x$, ערכו של $\ y$ לא נבחר בצורה שרירותית אלא הוא תלוי בערכו של $\ x$. מסיבה זו נהוג לכנות את $\ x$ כמשתנה הבלתי תלוי ואת $\ y$ המשתנה התלוי.

פונקציה מורכבת

הרכבת פונקציה מדמה לפונקציה המורכבת משלושה קבוצות:

1. קבוצת הקלט - קבוצה הקולטת בתוכה את האיברים.
2. קבוצה אמצעית - קבוצה אשר קולטת האברים מקבוצה ראשונה ומבצעת עליהם פעולה משנית .
3. קבוצת הפלט - הקבוצה הפולט את האיברים לאחר ביצוע "פקודת הפונקציה".

בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום $\ y$ את האות $\ f$ (קיצור למילה "פונקציה באנגלית - function). ההופעה של $\ x$ בסוגריים פירושה שהפונקציה $\ f$ פועלת על המשתנה $\ x$.

ניתן להחליף את $\ f$ בכל אות שרוצים. בדרך כלל נעזרים באותיות $\ g$ ו-$\ h$

דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: $\ f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x)$. למספר המוקטן קוראים "האינדקס של f".

• 

  תיאור התמונה

• 

  תיאור התמונה

נקודה על הפונקציה

כאמור הפונקציה מייצגת קשר בין שני גורמים. כל נקודה על הפונקציה חייבת לקיים את כלל התאמה של הפונקציה. במילים אחרות, אם חוקר אוסף נתונים הקושרים בין שני גורמים (למשל הקשר בין מרחק נסיעה למשך הנסיעה) הוא יכול לנבא שני נתונים:

1. מציאת ערכי הנקודה - החוקר יכול לנבא את ערכי ה- $\ y$ (או $\ x$ ) עבור $\ x$ באמצעות הפונקציה על ידי הצבת הערך בה.
2. האם הנקודה נמצאת על הפונקציה - הצבת ערכי ה- $\ y$ וה-$\ x$ במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : $\ 0=0$.

יתרה מזאת, כל פונקציה ניתנת לייצוג באמצעות הצגה גרפית, כך שעבודתו של החוקר הופכת לקלה הרבה יותר.

הצבת נקודה בפונקציה

דוגמה 1: הערכים העונים על פונקציה נדגים את הפשוטות בה ניתן לבדוק האם שני הערכים $(2,4)A$ ו- $(2,10)B$ מקיימים את הפונקציה $y=x+2$. הצבת ערכי הנקודה $A$ בפונקציה נותן את המשוואה $4=2+2$. מכאן שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה. הצבת ערכי $B$ בפונקציה נותן את המשוואה $10=2+2$. מכאן שהמשוואה היא פסוק שקר. B אינו עונה על תנאי הפונקציה.

דוגמה 2: מציאת ערכי הנקודה הנקודה $C(x,2)$ נמצאת על הפונקציה $y=x+2$. נדגים כיצד ניתן למצוא את ערך ה-$x$ שלה באמצעות הצבת במשוואה. ערך ה-$y$ של הנקודה $C$ שווה שתיים. מאחר ש-$C$ מקיימת את משוואת הפונקציה $y=x+2$ נוכל להציב $y=2$ ולגלות את ערך ה-$x$. נציב בפונקציה ונקבל את הערכים $2=x+2$. נסדר אגפים ונמצא כי$x_{c}=0$. ערך ה-$x_{c}$ המקיים את משוואת הפונקציה הוא $C(0,2)$

מטרת הספר

בפרקים הבאים נלמד על מגוון הפונקציות הקיימות וכן על הקריטריונים לפיהם חוקרים אותן (תחום הגדרה, תחומי עליה וירידה, נקודות חיתוך עם הצירים וכן הלאה).