תרגום ביטויים מפורשים לסדרי גדילה[עריכה]
נתונות שתי פונקציות:


כאשר
.
- האם
?
- האם
?
ראשית נראה ש
.
הוכחה: 


הטענה נובעת, לכן, מכלל הגבולות בסדרי גדילה.
כעת נראה כי
הוכחה: נניח בשלילה כי
.
אז קיים
כך שעבור ערכי
גדולים מספיק,
.
נחלק את שני האגפים ב
(נזכר שהוא חיובי), ונקבל
עבור ערכי
גדולים מספיק.
ניקח גבול של שני האגפים, ונקבל
.
אבל במקרה כאן, קל לראות שהגבול שואף לאינסוף, ולכן אין קבוע שחוסם אותו מלמעלה.
שאלה בסיסית ביחסים[עריכה]
אנא הוכח או הפרך את הטענות הבאות:
.
.
.
.
.
|
שימו לב: הכוונה בסעיף הראשון לפונקציה הקבועה , ולא לקבוע 80.
|
נכון.
הוכחה: נבחר
ו
, ונוודא
.
נכון.
הוכחה: נבחר
ו
, ונוודא
.
נכון.
הוכחה: נבחר
ו
, ונוודא
.
לא נכון.
הוכחה: נניח בשלילה שהטענה נכונה, ולכן עבור
ו
כלשהם,
.
אם נציב
נקבל


שאינו הגיוני.
נכון.
הוכחה: באופן כללי,
, ולכן הביטויים הם למעשה אותו ביטוי עד כדי הכפלה בקבוע.
הוכחת אדיטיביות[עריכה]
אנא הוכח את כלל האדיטיביות ל
:
לכל
,
.
ההוכחה דומה למדי להוכחת האדיטיביות שראינו בהרצאה:
הוכחה: (1) עפ"י ההגדרה:
משמעו שלכל
,
, עבור
כלשהם.
משמעו שלכל
,
, עבור
כלשהם.
לכן:
- לכל
,
.
- לכל
,
.
מקבלים את התוצאה ע"י חיבור שני האי-שוויונים האחרונים.
הוכחת טרנזיטיבות[עריכה]
אנא הוכח את טרנזיטיביות ל
:
לכל
,
.
ההוכחה דומה למדי להוכחת הטרנזיטיביות שראינו:
(1) עפ"י ההגדרה:
משמעו שלכל
,
, עבור
כלשהם.
משמעו שלכל
,
, עבור
כלשהם.
לכן:
- לכל
,
.
- לכל
,
.
מקבלים את התוצאה ע"י הצבת שני האי-שוויונים האחרונים אחד בשני:
- לכל
,
.
עוד כללים בסדרי גדילה[עריכה]
הן פונקציות חיוביות ממש. אנא הוכח או הפרך כ"א מהכללים הבאים:





(לתזכורת,
הן פונקציות חיוביות ממש.)
- לא נכון. נפריך ע"י
.
- לא נכון. נפריך ע"י
.
- לא נכון. נפריך ע"י
.
- לכל פונקציה
מתקיים ש
, עבור
כלשהם, החל מ
כלשהו. לכן, החל מאותו
, 
מה שמוכיח את הטענה.
(לפי כללים פשוטים מחדו"א),
ולכן עפ"י כללי הגבולות שראינו, הטענה נכונה.
כללים לגבי מקסימום[עריכה]
אנא הוכח או הפרך כ"א מהכללים הבאים:


נשים לב שתמיד מתקיים:
,
.
הטענה, לכן, נכונה.
ניקח
, ו
. קל לראות ש
: הוכחנו בכיתה ש
, ובאותו אופן בדיוק אפשר להראות ש
. הטענה, לכן, איננה נכונה.
כלל שלילי בגבולות[עריכה]
ו
הן פונקציות חיוביות ממש,
והגבול
קיים ושווה ל
. אנא הוכח או
הפרך את הטענה הבאה: אם
או
, אז
.
הטענה נכונה.
הוכחה: נניח בשלילה שהטענה מוטעית, ואכן
. עפ"י ההגדרה, לכן, קיימים שני
קבועים
ו
כך שלערכי
גדולים מספיק,
. נחלק ב
(שימו לב שאין צורך להפוך את סימני
), ונקבל
. מכללים ידועים בחדו"א, הוכחנו כעת שגבול המנה (אם הוא קיים) חסום בין
ל
, בסתירה לנתון בשאלה.
באופן דומה למדי, נוכל להוכיח את המשפט הבא:
יחסים בין פולינומים[עריכה]
פולינומים בעלי מקדמים חיוביים. אנא מצא כלל פשוט לקביעת סדרי הגדילה ביניהם.
נניח ש
פולינום מדרגה
, ו
פולינום מדרגה
. אז:



במילים אחרות, זה נקבע עפ"י יחס החזקות הגבוהות ביותר. קל להוכיח טענות אלו ע"י כללי הגבולות שראינו.
הכוון השני לכללי הגבולות[עריכה]
היא פונקציה חיובית ממש, מונוטונית עולה, ושואפת לאינסוף. אנא הוכח שקיימת פונקציה
כך שמתקיים
אבל הגבול
אינו קיים.
נבנה את הפונקציה
כך:
- ראשית נקבע צמדים של נקודות.
- נקבע
, ו
כנקודה הקטנה ביותר בה
(חייבת להיות נקודה כזו, כי
שואפת לאינסוף).
- נקבע
, ו
כנקודה הקטנה ביותר בה
(חייבת להיות נקודה כזו, כי
שואפת לאינסוף).
- נמשיך כך הלאה: נקבע
, ו
כנקודה הקטנה ביותר בה
) (חייבת להיות נקודה כזו, כי
שואפת לאינסוף), וכולי.
- כעת נגדיר את
בעזרת הזוגות:
- עבור
,
;
.
- עבור
,
;
.
- עבור
,
;
. נמשיך כך הלאה והלאה.מהבניה קל לראות את הדברים הבאים:
פונקציה מונוטונית עולה.
- בכל נקודה ונקודה,
נמצאת בין
ל
. לכן
בהכרח.
- יש אינסוף נקודות בהן
, אבל גם אינסוף נקודות בהן
, ולכן לא ייתכן שהגבול
קיים.
טור פולינומים[עריכה]
הם שני קבועים שלמים גדולים ממש מ1. אנא הוכח שמתקיים
.
היות ש
הם שני קבועים שלמים גדולים ממש מ1, אז
היא פונקציה מונוטונית עולה בתחום המתאים, ונוכל להשתמש
בכלל הראשון של חסמי האינטגרלים. בנוסף, נזכר ש
(עבור
כלשהו). הצבה פשוטה משלימה את ההוכחה.
הפונקציה
נתונה על ידי הנוסחה.
.
אנא הוכח
.
רמז
נסה להוכיח זאת באותו אופן בו הוכחנו
. כלומר:
- הוכח בנפרד חסמי
ו .
- ערוך מניפולציות על איבר הטור הכללי ועל גבולות הסיכום כך שיתקבל איבר טור שאינו תלוי בגבולות הסיכום (ולכן ניתן יהיה להוציאו מחוץ לסכום).
|
נשתמש באותו הרעיון בו השתמשתנו כדי לנתח טור של לוגריתמים.
ראשית נראה כי
.
הוכחה: ![{\displaystyle \displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}[\Theta (n)]=\Theta (n^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac6eab16c17788f2ba9b67e6545e752060dead8)
.
כעת נראה כי
.
הוכחה:
.
נשים לב שכאשר
בתחום
ו
בתחום
,
אז
.
לכן נקבל
.
.
נשים לב שעבור ערך
כלשהו, נוכל לבצע את החלפת המשתנים
, ונקבל
.
נציב זאת חזרה בסכום הכפול:
.
נבצע החלפת משתנים
, ונקבל:
.
חסם על טור לבניית ערימה בינרית ממערך[עריכה]
אנא הוכח ש
.
רמז
חלק את הטור לשני טורים; הראשון יהיה טור קצר המכיל מספר קבוע של איברים, והשני יהיה טור ארוך יותר. חסום את הטור השני על ידי טור הנדסי.
|
מצד אחד, כל טור גדול לפחות כמו איברו הראשון. מכאן נקבל:
ולכן הטור המקורי הוא
.
מצד שני, נקבל
,
ולכן נחסום מלמעלה את
.
עבור ערכי
מספיק גדולים,
(קל לראות זאת מל'וספיטל, לדוגמה). נגדיר את
כאינדקס הראשון בו
.
נקבל