חשבון/חזקה

כעת אנו מוכנים ללמוד פעולה נוספת, פעולת החזקה. פעולה זו אינה נחשבת כאחת מארבע פעולות החשבון הבסיסיות, אך גם היא נמצאת בשימוש רב. כשם שהכפל הוא חיבור מקוצר, החזקה היא כפל מקוצר: מכפילים מספר כלשהו בעצמו מספר מסוים של פעמים. החזקה מסומנת בצורה הבאה: $\ 5^{3}$, אך לעיתים נוהגים להשתמש בסימן ^.

דוגמה לחזקה: $5^{3}=5\times 5\times 5=125$.

בחזקה, המספר הראשון נקרא הבסיס, והמספר השני (הגבוה במיקום) - המעריך. לעיתים מכנים את התוצאה בשם החזקה, ולעיתים כוללים גם את המעריך בתיאורה: "החזקה השלישית של 5" היא $\ 5^{3}$. כמו כן, נהוג להשתמש במונחים "בשלישית", "בשנייה": "5 בשלישית" הוא $\ 5^{3}$. "בריבוע" הוא שם נוסף ל"בשנייה": "3 בריבוע" הוא "3 בשנייה", או $\ 3^{2}$.

בסדר פעולות החשבון, החזקה מבוצעת לפני כל ארבע הפעולות הבסיסיות, אך אחרי הסוגריים, שקודמים לה.

טבלת חזקה

6	5	4	3	2	1
64	32	16	8	4	2	2
		81	27	9	3	3
			64	16	4	4
			125	25	5	5
			216	36	6	6
				49	7	7
				64	8	8
				81	9	9
				100	10	10
				121	11	11
				144	12	12
				169	13	13
				196	14	14

מאפייני פעולת החזקה

לפעולת החזקה מספר מאפיינים חשובים:

• חוק החילוף אינו חל: למשל, $5^{3}=5\times 5\times 5=125$, ואילו $3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$.
• חוק הקיבוץ אינו חל: למשל, $\ (5^{2})^{3}=25^{3}=15,625$, ואילו $\ 5^{(2^{3})}=5^{8}=390,625$.
• כשהבסיס הוא 1, תוצאת החזקה היא 1.
• כשהמעריך הוא 1, תוצאת החזקה היא המספר עצמו.
• כשהבסיס הוא 0 והמעריך אינו 0, תוצאת החזקה היא 0.
• כשהמעריך הוא 0 והבסיס אינו 0, תוצאת החזקה היא 1.
• לתרגיל $\ 0^{0}$ נהוג לומר שאין תוצאה, אך לעיתים אומרים שתוצאתו 1.

חוקי החזקות

החזקות מקיימות מספר חוקים המקלים על חישוביהן:

כפל חזקות עם בסיסים זהים

כאשר כופלים חזקות עם בסיסים זהים, התוצאה היא חזקה שהבסיס שלה הוא הבסיס המשותף, והמעריך הוא סכום המעריכים. לדוגמה: $5^{3}\times 5^{4}=5^{3+4}=5^{7}$. דוגמה נוספת: $4^{3}\times 4^{2}\times 4^{5}=4^{3+2+5}=4^{10}$

חילוק חזקות עם בסיסים זהים

כאשר מחלקים שתי חזקות עם בסיסים זהים, התוצאה היא חזקה שהבסיס שלה הוא הבסיס המשותף, והמעריך הוא הפרש המעריך של המחולק והמעריך של המחלק. לדוגמה: ${\frac {5^{5}}{5^{3}}}=5^{5-3}=5^{2}$.

חזקה של חזקה

כאשר מבצעים פועלת חזקה על תוצאה של חזקה, התוצאה היא חזקה שהבסיס שלה הוא הבסיס של החזקה הראשונה, והמעריך שלה הוא מכפלת המעריך של החזקה הראשונה והמעריך של החזקה השנייה. לדוגמה: $(5^{3})^{4}=5^{3\times 4}=5^{12}$.

כפל חזקות עם מעריכים זהים

כאשר כופלים חזקות עם מעריכים זהים, התוצאה היא חזקה שהבסיס שלה הוא מכפלת הבסיסים של החזקות, והמעריך שלה הוא המעריך המשותף. לדוגמה: $5^{3}\times 2^{3}=(5\times 2)^{3}=10^{3}$. דוגמה נוספת: $5^{4}\times 2^{4}\times 3^{4}=(5\times 2\times 3)^{4}=30^{4}$.

חילוק חזקות עם מעריכים זהים

כאשר מחלקים שתי חזקות עם מעריכים זהים, התוצאה היא חזקה שהבסיס שלה הוא מנת הבסיס של המחולק והבסיס של המחלק, והמעריך שלה הוא המעריך המשותף. לדוגמה: ${\frac {6^{3}}{2^{3}}}=\left({\frac {6}{2}}\right)^{3}=3^{3}$.

הפרק הקודם: פירוק לגורמים ראשוניים

חזקה

הפרק הבא: שורש