חשבון/מספרים ראשוניים

גורמים

כל המספרים שמספר מסוים מתחלק בהם ללא שארית נקראים גורמים (או מחלקים) של המספר הזה. למשל, הגורמים של המספר 20 הם: 1, 2, 4, 5, 10, 20. למשל, 13 אינו גורם של 20, כיוון ש-20 אינו מתחלק בו; אך 10 הוא כן גורם של 20, כיוון שמתקיים $\ {\frac {20}{10}}=2$.

תכונה חשובה של הגורמים היא שתוצאת החילוק של המספר בכל אחד מהם אף היא גורם של המספר. לדוגמה, אם 2 הוא גורם של 20, כך גם 10. בדומה לכך, כל מספר כולל שני גורמים קבועים: הוא עצמו, ו-1.

מספרים ראשוניים

לעיתים חשוב לסווג את המספרים לפי מספר הגורמים שלהם. למספר 20, כפי שראינו, יש 6 גורמים, אך ישנם מספרים בעלי פחות גורמים. לדוגמה, למספר 25 יש שלושה גורמים בלבד: 1, 5, 25. למספר 7 יש שני גורמים: 7 ו-1, והמספר 1 הוא המספר היחיד שיש לו גורם אחד בלבד, הוא 1.

מספרים שיש להם בדיוק שני גורמים נקראים מספרים ראשוניים (שימו לב ש-1 אינו מספר ראשוני לפי הגדרה זו, וש-2 מוגדר כמספר ראשוני כי הוא מתחלק בשני המספרים שקטנים או שווים לו (1 ו-2)). למספרים הראשוניים מספר תפקידים חשובים במתמטיקה, כפי שנראה להלן. מספרים להם שלושה גורמים ומעלה נקראים מספרים פריקים. ניתן לראות שהמספר 1 הוא המספר היחיד שאינו ראשוני ואינו פריק.

להלן המספרים הראשוניים עד 100 (מסומנים בצהוב):

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

ניתן להבחין שהמספרים שספרת היחידות שלהם היא 2, 4, 5, 6, 8 או 0 אינם ראשוניים (למעט 2 ו-5), והסיבה לכך היא שהם מתחלקים ב-2 או ב-5. באותו אופן, 2 הוא המספר הזוגי היחיד שהוא גם ראשוני.

הנפה של ארטוסתנס

קיימת שיטה בשם "הנפה של ארטוסתנס" למציאת כל המספרים הראשוניים עד מספר מסוים: מציירים טבלה של כל המספרים עד המספר הזה (כדוגמת הטבלה שלמעלה) ללא 1, וחוזרים על הצעדים הבאים: הקפת המספר הבא, מחיקת כל כפולותיו המצויות בטבלה, ומעבר למספר שאחריו אם אינו מחוק. כשמסיימים לעבור על הטבלה, כל המספרים המוקפים הם ראשוניים. השיטה מודגמת משמאל.

פירוק לגורמים ראשוניים

כל מספר פריק ניתן לפירוק לגורמים ראשוניים שתוצאת הכפלתם היא המספר עצמו. יתרה מכך, לא ניתן לפרק מספר לשתי הצגות שונות של גורמים ראשוניים (ללא חשיבות לסדר ההכפלה). עובדות אלה נקראות "המשפט היסודי של האריתמטיקה".

לדוגמה: $\ 120=2\times 2\times 2\times 3\times 5$.

בפרק הבא יוסבר כיצד לבצע את הפירוק.

הפרק הקודם: סימני התחלקות

מספרים ראשוניים

הפרק הבא: פירוק לגורמים ראשוניים