חשבון/סימני התחלקות
כזכור, בעת החילוק מצאנו שישנם מספרים המתחלקים אחד בשני, וישנם מספרים שאינם מתחלקים אחד בשני. בפרק זה נתאר מספר סימנים שיכולים לעזור לנו למצוא, למספר מסוים, האם הוא מתחלק במספר אחר.
ראוי לציין ש-0 מתחלק בכל המספרים למעט 0, ולכן הוא עומד בכל סימני ההתחלקות. כמו כן, כל מספר מתחלק ב-1...
הערה נוספת: אם מספר מסוים מתחלק במספר אחר, אז הוא מתחלק גם בכל המספרים שהמספר האחר מתחלק בהם. לדוגמה, כל מספר המתחלק ב-10 מתחלק בוודאות ב-2 וב-5. במקרה זה גם ההיפך נכון: כל מספר המתחלק ב-2 וב-5, מתחלק גם ב-10.
סימני התחלקות ב-2, ב-5 וב-10
[עריכה]כדי לבדוק האם מספר מתחלק ב-2, ב-5 או ב-10, נעזרים בספרת האחדות שלו. אם ספרת האחדות שלו מתחלקת ב-2, 5 או 10, המספר כולו מתחלק במספר זה. כלומר:
- אם ספרת האחדות היא 2, 4, 6, 8 או 0 - המספר מתחלק ב-2.
- אם ספרת האחדות היא 5 או 0 - המספר מתחלק ב-5.
- אם ספרת האחדות היא 0 - המספר מתחלק ב-10 (וגם ב-2 ו-5).
המספר המתחלק ב-2 מכונה זוגי, ומספר שאינו מתחלק ב-2 מכונה אי-זוגי.
סימני התחלקות ב-4 וב-8
[עריכה]סימני ההתחלקות ב-4 וב-8 משתמשים בספרות נוספות מעבר לספרת האחדות:
- אם שתי הספרות האחרונות של המספר מתחלקות ב-4 - המספר מתחלק ב-4 (למשל, 564 מתחלק ב-4, כי 64 מתחלק ב-4).
- אם שלוש הספרות האחרונות של המספר מתחלקות ב-8 - המספר מתחלק ב-8.
ישנה גם שיטה שימושית לבדוק את שתי/שלוש הספרות האחרונות: ראשית בודקים האם המספר זוגי כמו שהסברנו, ואם כן, מחלקים את ספרת האחדות בשתיים ומוסיפים את המנה לעשרות. אם המספר שמתקבל הוא זוגי, כל המספר מתחלק ב-4. אפשר להמשיך את הבדיקה ולחלק ב-2 את ספרת העשרות. את המנה יש להוסיף לספרת המאות. אם שוב מתקבל מספר זוגי - אז כל המספר מתחלק ב-8.
סימני התחלקות בחזקות של 2 ו-5
[עריכה]כל מספר שמהווה חזקות של 2 ו-5 בלבד (כלומר הוא מהצורה 2n*5m) ניתן לבדוק את (max (n,m (כלומר המספר הגדול יותר מבין n ו-m) הספרות האחרונות. לדוגמה, נרצה לבדוק האם מספר מסוים מתחלק ב-50. ניתן לראות ש-50=2*52. לכן די לבדוק את 2 הספרות האחרונות (המספר הגדול יותר מבין 1 ו-2).
שימו לב שאם המספר הוא 2n*5n אז הוא למעשה 10n ומספיק לבדוק האם n הספרות האחרונות שלו הן כולן 0.
סימני התחלקות ב-3, ב-6 וב-9
[עריכה]סימני ההתחלקות ב-3 וב-9 משתמשים בסכום כל הספרות של מספר:
- אם סכום הספרות של מספר מתחלק ב-3 - המספר מתחלק ב-3. במילים אחרות, נגדיר את סכום הספרות הסופי של המספר כתוצאה של ביצוע סכום הספרות עד שהתוצאה היא מספר חד-ספרתי (למשל, סכום הספרות של 58 הוא 13, וסכום הספרות של מספר זה הוא 4, ולכן סכום הספרות הסופי של 58 הוא 4); אם סכום הספרות הסופי של המספר הוא 0, 3, 6 או 9 - המספר מתחלק ב-3.
- אם סכום הספרות של מספר מתחלק ב-9 - המספר מתחלק ב-9. במילים אחרות, אם סכום הספרות הסופי של המספר הוא 0 או 9 - המספר מתחלק ב-9.
סימן ההתחלקות ב-6 מורכב מסימני ההתחלקות ב-3 וב-2: אם סכום הספרות של המספר מתחלק ב-3 וספרת האחדות שלו מתחלקת ב-2, הוא מתחלק ב-6.
סימני התחלקות ב-11
[עריכה]כאשר המחולק דו ספרתי, התנאי הוא שספרת העשרות וספרת האחדות יהיו שוות. לדוגמה, 66 מתחלק ב-11.
כאשר המחולק בעל מספר גדול יותר של ספרות, יש לחלק אותו לקבוצות של שתי ספרות (אם מספר הספרות הוא אי-זוגי, אז הספרה הכי שמאלית נשארת לבד) ואז לחבר את כל הקבוצות שיצאו.
לדוגמה: נרצה לבדוק האם 28,479 מתחלק ב-11. לפיכך נחלק אותו לזוגות: 79, 84, 2. נחבר את שלושתם: 79+84+2=165. אנחנו רואים שהמספר שיצא לנו עדיין לא דו-ספרתי ולכן נחזור על הפעולה: נחלק אותו ל-65, 1, נחבר אותם ונקבל 65+1=66. זה מספר עם שתי ספרות זהות ומשום כך הוא מתחלק ב-11, כלומר, כל המספר המקורי התחלק ב-11.
השיטה הזאת עובדת באופן כללי לכל מספר שמחלק מספר המורכב רק מ-9. לדוגמה, 37 מחלק את 999 ולכן כדי לבדוק האם מספר מתחלק בו אפשר להפריד לקבוצות של 3, לחבר אותם וחוזר חלילה.
התחלקות של מספר פריק
[עריכה]יש לשים לב, שכל מספר פריק (שאיננו חזקה שלמה) ניתן להציג כמכפלה של שני מספרים זרים זה לזה (לעיתים ביותר מדרך אחת) במקרה זה, המספר מחלק מספר מסוים אם ורק אם הגורמים הזרים שלו מחלקים אותו.
לדוגמה: ניקח את 24. נשים לב ש-24=23*3. לפיכך, נחלק אותו לשני גורמים זרים - כלומר שאין להם אף גורם משותף, כלומר אי אפשר שבשניהם יהיה 2, ולכן אחד מהם יהיה 23=8 והשני יהיה 3. לפיכך, ניתן לקבוע שמספר מתחלק ב-24 אם ורק אם הוא מתחלק ב-8 וגם ב-3.
| הפרק הקודם: סדר פעולות החשבון |
סימני התחלקות | הפרק הבא: מספרים ראשוניים |