מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית

פונקצית מעריכית

תבנית וצורה פרבולה $y=a^{x}$ פונקציה מונוטומית (פונקציה עולה או יורדת לערכיה) כאשר $a$ חיובי: ככל ש-$a$ קטן יותר וגדול מאחד הפונקציה קעורה יותר. כאשר $a$ גדול מאפס וקטן מאחד הפונקציה יורדת תחום הגדרה ותנאים מקדמים מוגדל לכל $x$ ו-$\ a>0$. חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ אינה נחתכת עם הציר מפני שאין איבר בחזקה השווה לאפס. חיתוך עם ציר $y$ תמיד בנקודה $(0,1)$ מאחר ש-$y=a^{0}=1$. נקודת הקיצון על פי הכלל $\ f'(x)=a^{x}\cdot \ln(a)$. מאחר שסימן הנגזרת תלוי רק ב-$a$ אך לא ב-$x$, מתקיים שהפונקציה תמיד עולה (אם $\ a>1$) או שהיא תמיד יורדת (אם $\ 0<a<1$). כלומר אין נקודות קיצון. גם במקרה בו $\ a=1$, הנגזרת לעולם מתאפסת (הראינו לעיל), לפונקציה אין נקודות קיצון. בנקודות קיצון סטנדרטיות מתקיים $\ f'(x)=0$ וגם $\ f''(x)\neq 0$, מה שלא מתקיים במקרה שלפנינו. נוסחת הנגזרת תשמש אותנו בפונקציה מעריכית מורכבת נקודות פיתול מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה גזירה שנייה תניב $\ f''(x)=a^{x}\cdot (\ln(a))^{2}$, וביטוי זה הוא לעולם חיובי. לכן לפונקציה גם לא קיימות נקודות פיתול. מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה אסימפטוטות אסימפטוטה אנכית לציר $x$ אין אסימפטוטה מכיוון שפונקציה מעריכית אינה יכולה להתאפס : $a^{x}\neq 0$ (וערכי גדולים מאפס). אסימפטוטה אופקית נבדוק עבור $x\rightarrow \infty$ באמצעות הצבה: $y=a^{\infty }$. על פי הכללים, כאשר $x$ שואף לאינסוף אין אסימפטוטה (בכדי שישר $y=b$ יקרא אסימפטוטה לפונקציה $f(x)$ אם ערך של $f(x)$ שואף לערך ה-$b$ כאשר $x\rightarrow \infty$). נבדוק עבור $x\rightarrow -\infty$ באמצעות הצבה: $y=a^{-\infty }={\frac {1}{a^{\infty }}}=0$ כלומר קיימת אסימפטוטה רק מצדו האחד של הגרף. תחומי עליה וירידה ניתן לחלק את הפונקציות המעריכיות לשלושה סוגים עיקריים של פונקציות: כאשר $\ a=1$ הפונקציה המעריכית היא פונקציה קבועה $\ y=1$. כאשר $\ a\neq 1$: אם $\ a>1$ זוהי פונקציה עולה. אם $\ 0<a<1$ זוהי פונקציה יורדת. תחום שלילי וחיובי