מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה (רשימה כוללת)

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

ישרים נחתכים[עריכה]

ישרים מקבילים[עריכה]

הגדרה: מקבילים הינם שני ישרים שהמרחק ביניהם שווה לכל אורכם, וכי אנך לאחד תמיד אנך גם לשני וכל האנכים מסוג זה שווים זה לזה. לכן שני קווים מקבילים לעולם לא "נפגשים", כלומר אין ביניהם ולו נקודת חיתוך אחת.

  • שני קווים שלא חולקים אף נקודת חיתוך הם תמיד מקבילים.
  • שני ישרים מקבילים הם בעלי אותו שיפוע.
  • עבור שני ישרים נחתכים, סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º
  • שני ישרים מקבילים, הנחתכים בידי ישר שלישי, יוצרים זוויות מתחלפות, כלומר הזווית בין הישר לאחד המקבילים, הנוצרת בתחום הין המקבילים שווה לזווית בין אותו ישר למקביל השני מעברו השני של אותו ישר, בתחום בין המקבילים. ישר זה נקרא "חותך מקבילים".
    • הפוך:כל זוג זוויות מתחלפות בישרים מקבילים שוות.
  • זוויות מתאימות
    • הפוך:כל זוג זוויות מתאימות בישרים מקבילים שוות.
  • זוויות צמודות ב"חותך מקבילים", כלומר הנמצאות על אותו צד שלו או הנמצאות על אותו מקביל סכומן 180.
  • זווית הנוצרת בין "חותך מקבילים" למקביל א' מחוץ לתחום בין המקבילים שווה לזוויות בין אותו מקביל ל"חותך מקבילים" בתוך התחום בין המקבילים אשר בצד מנוגד לה. הן שתיהן שוות לזווית בתחום בין המקבילים הנוצרת בין ה"חותך מקבילים" למקביל השני באותו צד כמו הזוויות מחוץ לתחום, ושלושתן שוות לזוויות הנוצרת בין "חותך המקבילים" לבין המקביל השני מחוץ לתחום באותו צד כמו הזווית בין ה"חותך מקבילים" למקביל הראשון בתוך התחום.
  • דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
  • זוויות קודקודיות תמיד שוות.
  • ישר שאינו מקבילית: אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (אקסיומת המקבילים - היסוד החמישי של אויקלידס)

גדלי ישרים

  • שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם.
  • אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים הסכומים שווים.
  • אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים.
  • אם מחלקים גדלים שווים בגדלים שווים המנות שוות.
  • אם כופלים גדלים שווים בגדלים שווים המכפלות שוות.
  • בין שני ישרים מקבילים וישר שלישי שחותך אותם מתקבלים :
    • סכום כל זוג זוויות חד צדדיות בישרים מקבילים הוא 180 מעלות.
  • משפט הפוך - אם בין שני ישרים מקבלים (a,b) וישר שלישי חותך אותם, מתקיים אחד מזוגות הזוויות המצויינות (מתחלפות, מתאימות או חד צדדיות) אז שני הישרים מקבלים (a,b).
  • שני ישרים המקבלים לאותו ישר, יהיו מקבילים זה לזה.

אנכים[עריכה]

ישר[עריכה]

  • דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
  • אם שתי נקודות נמצאות על ישר ונקודה אחת נמצאת מחוץ לישר, אזי שום קו ישר אחד לא יכול לחבר את כל שלושת הנקודות.
  • דרך שתי נקודות יכול לעבור רק קו ישר אחד.
  • שני ישרים יכולים להיחתך אך ורק בנקודה אחת.
  • שוקייה של זווית בת 180 מעלות מצויות על אותו ישר.

תכונות המשותפות לכל המשולשים: זוויות וצלעות[עריכה]

משולשים שווי שוקיים[עריכה]

משולש שווה צלעות[עריכה]

הגדרה: משולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלוש צלעותיו שוות באורכן ולכן כל הזוויות שוות ל-60 מעלות.

  • משולש ששתיים מזוויותיו שוות 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
  • [[/משולש ששתיים מצלעותיו שוות וזווית אחת שלו שווה 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות/]].
  • משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים ולכן כל חוקיו של משולש שווה שוקיים חלים גם על משולש שווה צלעות, כאשר כל אחת מצלעות המשולש יכולה לשמש כבסיס.



משולש ישר זווית[עריכה]

הגדרה: משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל90 מעלות. הצלע מול הזווית בעלת 90 מעלות (הזווית הישרה) נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.

  • היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין הניצב השני הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "טנגנס הזווית".
  • היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "סינוס הזווית".
  • היחס בין הניצב הצמוד לזווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "קוסינוס הזווית".
  • במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו-60 הניצב שמול ה-30 שווה למחצית היתר. משולש זה ניקרא גם משולש זהב
  • אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול הניצב שווה 30 מעלות.
  • במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
  • משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית. והצלע אותה הוא חוצה היא היתר.
  • הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
  • אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
  • בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)

משפטי חפיפה[עריכה]

שים לב: משפטי החפיפה נובעים כולם מחוק דמיון משולשים.

הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.

דמיון משולשים (וחוקים הנובעים ממנו)[עריכה]

כדי להוכיח דמיון משולשים די להוכיח כי:

דמיון בין שני משולשים מכנה יחס פרופורציוני לצלעות ולזוויות:


קטע אמצעים במשולש[עריכה]

הגדרה: קטע אמצעים במשולש הוא קטע העובר בין אמצעי שתי צלעות במשולש כאשר:

  • קטע אמצעים במשולש חוצה את שתי הצלעות שהוא חותך.
  • קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה אינו חותך.
  • קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה אינו חותך.

הוכחה:

קטע אמצעי במשולש:

  • ישר המקביל לצלע של משולש וחוצה צלע אחרת, בהכרח עובר גם דרך אמצע הצלע השלישית, כלומר, הוא קטע אמצעים.
  • קטע אמצעים המחבר את השוקיים - חוצה את הגובה לבסיס .
  • קטע אמצעים במשולש עובר בהכרח דרך אמצע כל קטע המחבר בין הקדקוד שמחבר את הצלעות שהוא חוצה לבין הצלע לה הוא מקביל, וחותך את שטח המשולש למשולש קטן וטרפז ביחס 1:3.
  • [[/קטע אמצעים במשולש מחלק אותו למשולש ולטרפז כך ששטח הטרפז גדול פי 3 משטח המשולש שנוצר/]] (לא לציטוט בבגרות)

פרופורציה[עריכה]

  • כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהקטע הקרוב לצלע.
  • חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין הצלעות הכולאות את הזווית.
  • קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זווית המשולש.
  • ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו.
  • כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
  • כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך האמצעי.
  • שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים.
  • שני ישרים המקצים על שוקי הזווית קטעים פרופורציוניים מקבילים זה לזה.
  • כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית
  • כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
  • כל נקודה על אנך לקטע היוצא ממרכזו נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
  • כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך היוצא ממרכזו.
  • כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.

מפגש התיכונים[עריכה]

נקודת מפגש התיכונים נקראת גם בשם מרכז הכובד

מפגש הגבהים[עריכה]

משפט פיתגורס[עריכה]

היטל[עריכה]

מעגל חוסם משולש[עריכה]

היטל[עריכה]

  • אם היטלו של משופע אחד גדול מהיטלו של משופע שני אז המשופע הראשון גדול מהמשופע השני.
  • בתבניות ניתן להציב גודל מסוים במקום גודל השווה לו.

מרובע[עריכה]

הגדרה: מרובע הוא מצולע סגור שיש לו ארבע צלעות וארבע זוויות הכלואות ביניהן.

הגדרה: אלכסון במרובע הוא קטע המחבר בין קדקוד אחד של המרובע לקדקוד שנגדי לו(קדקוד שאינו מחובר לו על ידי צלע).

  • סכום הזויות במרובע 360.
  • סכום הזויות החיצוניות במצולע 360.
  • אלכסון הוא קו המחבר בין שני קודקודים(מפגשי צלעות) שלא יושבים על אותה צלע (קודקודים נגדיים).
  • שטח ריבוע שצלעו ניצב אחד של משולש ישר זווית שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן היתר וההיטל של ניצב זה על היתר. (משפט אוקלידס)

טרפז[עריכה]

הגדרה: בטרפז זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות, והן נקראות בסיסים. שתי הצלעות הנותרות, הלא מקבילות, נקראות שוקיים.

  • סכום שתי זוויות הצמודות לאותה שוק תמיד שווה ל 180 מעלות.
  • טרפז שווה שוקיים הוא טרפז שזוג הצלעות הלא מקבילות (שוקיו) שלו שוות זו לזו, וחלים עליו חוקים מיוחדים:
    • האלכסונים שווים זה לזה.
    • נקודת החיתוך של האלכסונים מחלקת אותם כך שהיחס בין החלקים של האלכסונים שווה ליחס בין הבסיסים (ע"פ משפט תאלס)
    • בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים.
    • זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים תמיד שוות.
  • טרפז שבו כל הקודקודים נמצאים על אותו מעגל הוא בהכרח שווה שוקיים.
  • טרפז שווה שוקיים שבו שתי השוקיים מאונכות לבסיסים הוא מלבן.
  • טרפז שזוג הצלעות המקבילות שלו שוות הוא מקבילית.
  • [[/האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מחלקים זה את זה כך שחלקיהם הקרובים לבסיסים שווים/]](לא לציטוט בבגרות)
  • המקביל לבסיסים בטרפז העובר דרך נקודת מפגש האלכסונים נחצה (לא לציטוט בבגרות)

קטע אמצעים בטרפז[עריכה]

הגדרה: קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי שתי השוקיים של הטרפז.

  • קטע אמצעים בטרפז מקביל לשני הבסיסים.
  • קטע אמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.
    • האלכסון בטרפז שווה שוקיים גדול מקטע האמצעים.
    • קטע בטרפז היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את הצלע השנייה.

טרפז חסום במעגל[עריכה]


מקבילית[עריכה]

הגדרה: מקבילית היא מרובע בו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות אחת לשניה.

מלבן[עריכה]

הגדרה: מלבן הוא מקבילית שאחת מזוויותיה שווה ל 90 מעלות.

  • כל זוויות המלבן שוות ל 90 מעלות.
  • במלבן האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
    • מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן
  • במלבן כל זוג צלעות נגדיות הן מקבילות זו לזו ושוות זו לזו.
  • כל מלבן הוא מקבילית וחלים עליו כל חוקיה

דלתון[עריכה]

הגדרה: דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף.

  • אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.
  • האלכסון המשני נחתך לשני חלקים שווים על ידי האלכסון הראשי.
  • האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש (הזוויות בין זוג צלעות שוות), מאונך ותיכון לאלכסון המשני.
    • האלכסון הראשי בדלתון מחלק אותו לשני משולשים חופפים החולקים בסיס.
    • האלכסון המשני בדלתון מחלק אותו לשני משולשים שווי שוקיים החולקים בסיס.
  • שתי הזוויות שבין צלעות בעלות אורכים שונים, שוות.
  • דלתון שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

מעוין[עריכה]

הגדרה: מעוין הוא דלתון/מקבילית שכל צלעותיו שוות.

  • כל הצלעות במעויין שוות זו לזו.
  • אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין וזה את זה.
    • מקבילית שבה האלכסונים חוצים זה את זה וניצבים זה לזה היא מעוין.
  • אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
  • כל מעויין הוא גם מקבילית וחלים עליו כל חוקיה.
  • מעויין ששתי זוויות צמודות בו שוות, או שזווית אחת מזוויותיו היא בת 90 מעלות, הוא ריבוע.
  • מעוין בעל זוית בת 90 מעלות הוא ריבוע

ריבוע[עריכה]

הגדרה: הריבוע הוא "המרובע המושלם" וחלים עליו חוקייהם של כל המרובעים. הוא גם דלתון, גם מקבילית, גם מעויין, וגם מלבן.

  • אלכסוניו של הריבוע שווים זה לזה, מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה, וחוצי זויות הריבוע.
  • כל צלעותיו של הריבוע שוות זו לזו.
  • כל הזוויות בריבוע הן בנות 90 מעלות.
  • כל זוג צלעות נגדיות בריבוע מקבילות זו לזו.
  • אלכסוני הריבוע מחלקים אותו כל אחד לשני משולשים שווי שוקיים וישרי זווית, שווים בגודל וחולקי בסיס ששוקיהם הם צלעות הריבוע. יחד הם מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שוקיים וישרי זווית החולקים שוקיים, ובסיסיהם הם צלעות הריבוע.

מעגל[עריכה]

הגדרה: אוסף של נקודות שמרחקן מנקודה קבועה (מרכז המעגל) שווה.

  • שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
  • שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.

רדיוס[עריכה]

קטעים במעגל

הגדרה: רדיוס (r) הוא קטע המחבר בין מרכז המעגל לנקודה כלשהי על המעגל.

  • במעגל כל הרדיוסים שווים.
  • במעגל כל הקטרים שווים.

מיתרים[עריכה]

הגדרה : מיתר הוא קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל.

משפטים :

קוטר[עריכה]

הגדרה: קוטר הוא המיתר האורך ביותר במעגל העובר דרך מרכז המעגל, וגודלו שווה לפעמיים גודל הרדיוס (2r).

  • מרחק בין מיתר למרכז המעגל הוא אנך למיתר המגיע למרכז המעגל.
  • ככל שמיתר קרוב יותר למרכז המעגל הוא גדול יותר, וקוטר הוא המיתר הגדול ביותר שיכול להווצר במעגל.

קשת[עריכה]

הגדרה: קשת היא נקטע על המעגל הכלוא בין שתי נקודות עליו (בד"כ הכוונה לקטע הקטן אלא אם צוין אחרת). גודלה של הקשת שווה לגודל הזווית הכלואה והמתאימה לאותה קשת.

  • לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.

זוויות במעגל[עריכה]

זווית מרכזית[עריכה]

הגדרה: זווית שקדקודה הוא מרכז המעגל ושוקיה הם רדיוס.

זווית היקפית[עריכה]

הגדרה: זווית שקדקודה על המעגל ושוקיה הם מיתריה.

זוויות נוספות[עריכה]

  • על מיתרים שווי גודל, נשענות זוויות היקפיות שוות.
  • אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
  • זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
  • זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
  • זווית חיצונית למעגל שווה למחצית ההפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.

משיקים למעגל[עריכה]

הגדרה: משיק למעגל הוא ישר אינסופי הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד על המעגל ומאונך לרדיוסו.

פרופורציות במעגל[עריכה]

שני מיתרים החותכים זה את זה

שני מעגלים[עריכה]

הגדרה: הקטע המחבר את מרכזיהם של שני מעגלים נקרא קטע מרכזים.

  • מעגלים נחתכים - קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
  • מעגלים משיקים חיצונית ופנימית - קטע המרכזים של מעגלים משיקים חיצונית עובר בנקודת ההשקה, ושווה לסכום הרדיוסים של שני המעגלים.
  • המשך קטע המרכזים של מעגלים משיקים פנימית עובר בנקודת ההשקה, ושווה להפרש הרדיוסים של שני המעגלים.


מעגל חוסם וחסום[עריכה]

מעגל חוסם משולש[עריכה]

הגדרה: מעגל חוסם משולש הוא מעגל העובר בכל אחד מקדקודי המשולש.

  • ניתן לחסום כל משולש במעגל.
  • מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של כל האנכים האמצעיים של המשולש.
    • במשולש חד זווית: מרכז המעגל נמצא בתוך המשולש.
    • במשולש ישר זווית: מרכז המעגל נמצא על היתר והוא מרכזו .
    • במשולש קהה זווית: מרכז המעגל נמצא מחוץ למשולש.
  • ניתן למצוא את מרכז המעגל ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת מפגש של שני אנכים אמצעיים בלבד.

מעגל חסום במשולש[עריכה]

הגדרה: מעגל חסום במשולש הוא מעגל שכל צלעות המשולש משיקות לו.

  • ניתן לחסום מעגל בכל משולש.
  • מרכז המעגל החסום הוא נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית במשולש.
  • ניתן להוכיח כי נקודה מסויימת היא מרכז המעגל החסום במשולש ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת המפגש של שני חוצי זווית בלבד.

מעגלים:

  • הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
  • הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.

מעגל חוסם מרובע[עריכה]

הגדרה: מעגל חוסם מרובע הוא מעגל העובר דרך כל הקדקודים של המרובע.בכדי שיהיה ניתן לחסום מרובע במעגל, במרובע חייב להתקיים אחד הכללים הבאים:

מעגל חסום במרובע[עריכה]

הגדרה: מעגל חסום במרובע הוא מעגל שכל צלעות המרובע משיקות לו. *בכדי שניתן יהיה לחסום מעגל במרובע, במרובע חייב להתקיים הכלל הבא:

  • במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
  • מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.

מצולע משוכלל חוסם וחסום מעגל[עריכה]

  • אם מחלקים מעגל למספר (n) קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n צלעות.
  • כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
  • בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.