מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תש"ע (ניסוי)/035806/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל	במעגל שמרכזו O חסום מרובע ABCD. DC הוא קוטר. המשכי הצלעות DA ו-CB נפגשים בנקודה E. נתון OB||DE $\angle BOC=\alpha$ הבע באמצעות$\angle BOC=\alpha$ את הזווית $ABO$ נתון ששטח המשולש OBC שווה לשטח המשולש BEA. הוכח $\triangle OBC$ חופף $\triangle BEA$ מצא את גודל הזווית אלפא.
נושא	כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל, סכומן 180 מעלות (סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות). זוויות בין צלעות מקבליות יחס צלעות של משולשים זהים בשניה שווה ליחס השטחים של המשולשים הדומים.
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

הזווית D במרובע ABCD החסום במעגל שווה אלפא (זוויות מתאימות בין שני מקבלים)

OB=OC=R רדיוסים במעגל שווים.

מכאן נובע שהזווית COB ו-BCO שוות וגודל במשולש BOC הינו ${\frac {180-\alpha }{2}}$

הזווית OBC שווה $180-(\alpha +90-{\frac {\alpha }{2}})=90-{\frac {\alpha }{2}}$ (זוג זוויות נגדיות במרובע שוות כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל, סכומן 180 מעלות)

סעיף ב

נמצא את זוית EBA : $\angle EBA=180-[90-{\frac {\alpha }{2}}+90-{\frac {\alpha }{2}}]=\alpha$ השלמה ך-180 מעלות

מכאן אנו מסיקים כי $\angle EBA=\angle BOC$ (ז)

$\angle AEB=\angle OBC=90-{\frac {\alpha }{2}}$ (ז)

מכאן שהמשולש AEB דומה למשולש BOC על פי משפט זווית זווית וככה יחסי הצלעות : ${\frac {OB}{BE}}={\frac {OC}{BA}}={\frac {BC}{EA}}$

$S_{\triangle AEB}=S_{\triangle BOC}=S_{1}$

$({\frac {OB}{BE}})^{2}=({\frac {OC}{BA}})^{2}=({\frac {BC}{EA}})^{2}={\frac {S_{1}}{S_{1}}}$ יחסי הצלעות בשניה שווה ליחסי השטחים.

מכאן נובע שיחס בין הצלעות שווה ליחס השטחים, דהינו הצלעות שוות זו לזו

מכאן נובע שהמשולש AEB חופף למשולש BOC על פי צ.צ.צ

סעיף ג

נוריד אנך מהנקודה D אל EC במשולש שווה הצלעות DEC. האנך מגיע בדיוק אל נקודה B מפני שהזווית נשענת על הקוטר ולכן שווה 90 מעלות. מכאן נובע ש CB =BE מכאן נובע שהמשולש AEB ו-BCO שווי צלעות

במילים אחרות גודל הזוויות שלהם הוא 60 וכך הזווית אלפא