מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מעגלים
מעגל[עריכה]
הגדרה: אוסף של נקודות שמרחקן מנקודה קבועה (מרכז המעגל) שווה.
- שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
- שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.
רדיוס[עריכה]
הגדרה: רדיוס (r) הוא קטע המחבר בין מרכז המעגל לנקודה כלשהי על המעגל.
- במעגל כל הרדיוסים שווים.
- במעגל כל הקטרים שווים.
מיתרים[עריכה]
הגדרה : מיתר הוא קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל.
משפטים :
- למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות ולהפך לקשתות שוות מיתרים שווים.
- למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות ולהפך לזוויות מרכזיות שוות יש מיתרים שווים
- אנך ממרכז המעגל אל המיתר חוצה את המיתר, הזווית המרכזית והקשת המתאימה
- קטע החוצה את הזווית המרכזית של המיתר הוא אנך למיתר.
- קטע העובר דרך מרכז המעגל וחוצה מיתר, מאונך לו.
- קטע ממרכז המעגל החוצה את הקשת של המיתר אנך לו.
- אנך ממרכז המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
- מרחקו של מיתר מן המרכז הוא אורך האנך היוצא מהמרכז אל המיתר
- למיתרים שווים מרחק שווה ממרכז המעגל.
- מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.
- אם מיתר אחד גדול ממיתר שני אז מרחקו מהמרכז יהיה קצר יותר ממרחקו של המיתר השני.
- מיתר שמרחקו מהמרכז קצר יותר ממרחקו של מיתר שני יהיה ארוך יותר מהמיתר השני.
- קטע העובר דרך קצהו של מיתר במעגל ויוצר איתו זווית השווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני הוא גם משיק למעגל (לא לציטוט בבגרות)
קוטר[עריכה]
הגדרה: קוטר הוא המיתר האורך ביותר במעגל העובר דרך מרכז המעגל, וגודלו שווה לפעמיים גודל הרדיוס (2r).
- מרחק בין מיתר למרכז המעגל הוא אנך למיתר המגיע למרכז המעגל.
- ככל שמיתר קרוב יותר למרכז המעגל הוא גדול יותר, וקוטר הוא המיתר הגדול ביותר שיכול להווצר במעגל.
קשת[עריכה]
הגדרה: קשת היא נקטע על המעגל הכלוא בין שתי נקודות עליו (בד"כ הכוונה לקטע הקטן אלא אם צוין אחרת). גודלה של הקשת שווה לגודל הזווית הכלואה והמתאימה לאותה קשת.
- לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
זוויות במעגל[עריכה]
זווית מרכזית[עריכה]
הגדרה: זווית שקדקודה הוא מרכז המעגל ושוקיה הם רדיוס.
- זוית מרכזית שווה בגודלה לקשת עליה היא נשענת (לחלק לרדיוס)
- לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות.
- לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.
זווית היקפית[עריכה]
הגדרה: זווית שקדקודה על המעגל ושוקיה הם מיתריה.
- זווית היקפית היא זווית הנמצאת על המעגל ונשענת על קשת במעגל.
- זוית הקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת/.
- זוויות היקפיות הנשענת על אותה קשת (או על קשתות שוות) שוות זו לזו
- לקשתות שוות מתאימות זויות הקפיות שוות.
- זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות.
זוויות נוספות[עריכה]
- על מיתרים שווי גודל, נשענות זוויות היקפיות שוות.
- אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
- זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
- זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
- זווית חיצונית למעגל שווה למחצית ההפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.
משיקים למעגל[עריכה]
הגדרה: משיק למעגל הוא ישר אינסופי הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד על המעגל ומאונך לרדיוסו.
- רדיוס המעגל מאונך למשיק הנפגש איתו על המעגל.
- אם רדיוס מאונך לקטע על המעגל, הקטע משיק למעגל.
- שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם (מהנקודה המשותפת עד לנקודת ההשקה).
- הזווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית הקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
- משפט ההפוך :אם זווית הקפית ששווה לזוית בין המשיק למיתר אז המיתר משיק למעגל
- הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה של משיקים מקבילים הוא קוטר.
פרופורציות במעגל[עריכה]
- שני מיתרים הנחתכים במעגל מחלקים זה את זה לשני קטעים כך, שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעיו של השני.
- אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך האחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
- אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים חותך למעגל ומשיק למעגל מכפלת המשיק בעצמו שווה למכפלת חותך המעגל בחלקו החיצוני.
שני מעגלים[עריכה]
הגדרה: הקטע המחבר את מרכזיהם של שני מעגלים נקרא קטע מרכזים.
- מעגלים נחתכים - קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
- מעגלים משיקים חיצונית ופנימית - קטע המרכזים של מעגלים משיקים חיצונית עובר בנקודת ההשקה, ושווה לסכום הרדיוסים של שני המעגלים.
- המשך קטע המרכזים של מעגלים משיקים פנימית עובר בנקודת ההשקה, ושווה להפרש הרדיוסים של שני המעגלים.
-
AB קטע מרכזי אשר חוצה את הקטע המשותף -
נקודת ההשקה למעגלים המשיקים זה לזהפנימית וחיצונית.
מעגל חוסם וחסום[עריכה]
מעגל חוסם משולש[עריכה]
הגדרה: מעגל חוסם משולש הוא מעגל העובר בכל אחד מקדקודי המשולש.
- ניתן לחסום כל משולש במעגל.
- מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של כל האנכים האמצעיים של המשולש.
- במשולש חד זווית: מרכז המעגל נמצא בתוך המשולש.
- במשולש ישר זווית: מרכז המעגל נמצא על היתר והוא מרכזו .
- במשולש קהה זווית: מרכז המעגל נמצא מחוץ למשולש.
- ניתן למצוא את מרכז המעגל ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת מפגש של שני אנכים אמצעיים בלבד.
מעגל חסום במשולש[עריכה]
הגדרה: מעגל חסום במשולש הוא מעגל שכל צלעות המשולש משיקות לו.
- ניתן לחסום מעגל בכל משולש.
- מרכז המעגל החסום הוא נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית במשולש.
- ניתן להוכיח כי נקודה מסויימת היא מרכז המעגל החסום במשולש ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת המפגש של שני חוצי זווית בלבד.
מעגלים:
- הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
- הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
מעגל חוסם מרובע[עריכה]
הגדרה: מעגל חוסם מרובע הוא מעגל העובר דרך כל הקדקודים של המרובע.בכדי שיהיה ניתן לחסום מרובע במעגל, במרובע חייב להתקיים אחד הכללים הבאים:
- כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל, סכומן 180 מעלות (סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות).
- אם במרובע כל ארבעת האנכים האמצעיים נפגשים בנק אחת, נק זו היא מרכז המעגל וניתן לחסום מרובע זה ע"י המעגל.
מעגל חסום במרובע[עריכה]
הגדרה: מעגל חסום במרובע הוא מעגל שכל צלעות המרובע משיקות לו. *בכדי שניתן יהיה לחסום מעגל במרובע, במרובע חייב להתקיים הכלל הבא:
- במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
- מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.
מצולע משוכלל חוסם וחסום מעגל[עריכה]
- אם מחלקים מעגל למספר (n) קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n צלעות.
- כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
- בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.