מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מעגלים/נקודת החיתוך של שני מיתרים במעגל

שני מיתרים החותכים זה את זה

נתון:

• נקודות A, B, C, D נמצאות על מעגל.
• E נקודת החיתוך של המיתרים CD ו-AB.

צ"ל: $AE\cdot EB=DE\cdot EC$

הוכחה:
בנית קווי עזר המיתר $DB$ והמיתר $AC$

נוכיח דמיון משולשים $\triangle ACE\cong \triangle EDB$

$\angle AEC=\angle DEB$ זוויות קודקודיות

$\angle CDB=\angle CAB$ כל זוית הקפית במעגל שווה לכל זוית הקפית אחרת במעגל הנשענת על אותה קשת

${\begin{aligned}&\Downarrow \\&\triangle ACE\cong \triangle EDB\\&{\frac {AE}{ED}}={\frac {CE}{EB}}\\&AE\cdot EB=DE\cdot EC\\\end{aligned}}$