מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הקדמה[עריכה]

בפרק זה נלמד למצוא את הסכום/המכפלה של של סדרה נתונה. ראשית נזכיר שאת נוסחאת הסכום אנו יודעים מראש כיוון שהיא מופיע בתרגיל האינדוקציה, למשל, הסכום של הסדרה: .

בכדי לגלות את סכום הסדר נציב את מיקום האבר שעד אליו אנו רוצים לחשב.

נדגים חישוב לסכום של הסדרה :

  • עד האבר הראשון, נציב בתבנית הסכום (*): .
  • עד האבר השלישי, נציב בתבנית הסכום (*): - נוכל לבדוק את הפתרון ידנית[1] על-ידי חיבור האברים עד האבר השלישי: .

נדגים חישוב למכפלה של סדרה,

  • עד האבר הראשון, נציב בתבנית הסכום:
  • עד האבר השלישי, נציב בתבנית הסכום: .

הוכחת אי-שוויון, היא פעולה מורכבת יותר, אולם זהה לחלוטין לחישוב של ערך מספרי. בהוכחת אי-שוויון, אנו מציגים דרך חישוב של מספר אברים (באחת מפעולות החשבון), ומוכחים כי הם מקיימים את אי-השוויון הנתון. למשל, נתונה הסדרה .

הוכח כי:

בדרך כלל פירוק הסדרה, מקל על הבנתה ובאמצעות כך, קל יותר להוכיח את אי-השוויון ‏[2]

זכור שבכדי לחשב סכום עלינו למצוא את מיקום האבר () .

מצבים[עריכה]

חישוב סכום בתחום מסוים[עריכה]

נזכיר כי עבור מציאת סכום/מכפלה של ססדרה עלינו למצוא את מיקום האבר עד אליו אנו רוצים לגלות את תוצאת הסדרה, למשל ,  :

  • עד לאבר . נציב בתבנית המכפלה:
  • עד לאבר . נציב בתבנית המכפלה:

פעמים נרצה תחום מסוים של מספרים, בכדי כך יהיה עלינו למצוא שני מיקומים, מיקום של האבר הראשון בחישוב ומיקומו של האבר האחרון בסדרה. נדגים חישוב תחום מסוים של אברים. מציאת מיקום האבר אותו אנו נדרשים לחשב, בדרך-כלל, פעולה פשוטה שניתן לזהות על-ידי העין, לדוגמא, אם נרצה לחשב את הסכום בסדרה הבאה : [3]. נוכל לראות כי יש למצוא את מיקום המספר והאיבר . כל מספר מוכב מ"תתי-אברים" אשר ביניהם יש פעולת כפל. נתבונן באבר הראשון של "תתי-האבר", , בכדי לגלות את מיקומו ה- -י.

נתבונן על "הנוסחא לאבר במקום ה-n‏ () ונשווה לגודל האבר שלו אנו רוצים למצוא את מיקומו: , אפשר לראות בברור כי . נבצע את אותה פעולה עבור האבר השני, ונגלה שמיקומו של האבר הוא [4]

עתה משיש לנו את מיקום האברים נוכל למצוא את סכום התחום על-ידי פעולת חיסור בין שני הסכומים:

שימו לב! כאשר לסדרה אשר האברים שלה קשורים זה לזה על-ידי פעולת כפל. בסדרה שכזו אנו נבצע פעולת חילוק בין המכפלות, כמו בבגרות קיץ 2002.

מכמה אברים מורכבת הסדרה?[עריכה]

מדוגמאות לעיל, אנו לקחים שקיימים פעמים בהם האברים מורכבים. בתרגיל ההם, הבחנו בקלות כי מדובר באבר שלו כמה תתי-מספרים, אולם, לא תמיד נוכל לזהות זאת, לדוגמא כאשר מדובר בסדרה הנדסית שכל אבר בה מורכב ממכפלת שני אברים או בסדרה בה האבר מורכב מכפל שני אברים ועוד כפל שני אברים. כאשר מדובר בשיעורי בית, אנו יכולים לתקן את עצמנו בדיעבד, אך, בבגרות, אנו יכולים לבצע חישוב מוטעה או לא להצליח לבצע חישוב, רק בגלל שלא שמנו לב לנושא.

אז מה צריך לעשות בכדי לוודא שלא נתקל במצב בו? יש להשיםם לב לשני מצבים:

  1. כאשר מוצגים בתרגיל ארבע מספרים ראשונים (ולא שלושה) רוב הסיכויים שמדובר בסדרה עם תתי-אברים.
  2. בדיקה

בשלב הבדיקה אנו מגלים נתון יקר מאוד, מהי הוא האבר עליו אנו מביטים, לדוגמא, אם היינו נגשים לתרגיל:

.

מבלי לבצע הוכחת אידוקציה, הינו מגלים את עצמנו מתקשים לגלות את מיקומו של האיב שערכו . מדוע זה?
כיון שכל אבר בסדרה מורכב מארבע מספרים שבין כל זוג פעולת חיבור. אם הינו מבצעים בדיקה, הינו מציבים עבור ומגלים שלמעשה, בהצבת מיקום אחד, אנו מגיעים אל המספר השני ומכאן נסיק שכל אבר מורכב, מארבע מספרים. סעיף זה, משלים את הנושא שנלמד בפרקים קודמים.

החסרת/הוספת אבר וחישוב עד לתת סעיף[עריכה]

[5]

כאשר יש להוריד ידנית אבר ולבצע פעולה מורכבת יחסית להחסרתו


פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



חישוב ידני[עריכה]

הוכחת אי-שוויון[עריכה]

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



הבעת סכום של סדרה[עריכה]

  • חישוב סכום כאשר מיקום n ידוע ולכן, ניתן להחסיר ידנית את ערך המספים שאין צורך בהם.
טוען את הטאבים...


פתרון[עריכה]

סעיף 1[עריכה]

בדיקה נכונות הטענה עבור [עריכה]

נניח כי הטענה נכונה עבור טבעי[עריכה]

נוכיח כי הטענה נכונה עבור [עריכה]

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2[עריכה]

עלינו להביע באמצעות את הסכום: .

כיון שהסדרה "זרה לנו" (אין אנו יודעים לחשב ישירות את הסכום שלה), נקשר אותה (נמצא את ההבדל בין הסדרות/קשר/מה חסר כדי שיהיו דומות) אל הסדרה הראשונה:

הספרה 2 מפריעה לנו ולכן "נוציא" אותה מהסדרה. מהסדרה החדשה ניתן להוציא את הספרה . מקבלים: . באמצעות גורם משותף, נקבל את הסדרה הראשונה : . כלומר עלינו למצוא את הסכום של הסדרה הראשונה (יודעים לחשב) ולכפול בארבע.

הסכום אותו עלינו לגלות: מהאבר ועד האבר . כיון שהמספר לא רחוק, נוכל להחסיר ידנית את ולחסוך סעיף של חישוב.

סכום הסדרה עד האבר שווה: (הוכחנו). נחסיר את האברים המיותרים:

נכפיל בארבע ונקבל את ביטוי הסכום של הסדרה החדשה:

מציאת באמצעות סכום סדרה[עריכה]

  • האיבר הכללי של נוסחא, סכום נוסחא, מיקום אבר - מציאת אבר על-פי סכום
טוען את הטאבים...


סעיף 1[עריכה]

בדיקה נכונות הטענה עבור [עריכה]

נניח כי הטענה נכונה עבור טבעי[עריכה]

נוכיח כי הטענה נכונה עבור [עריכה]

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2[עריכה]

עלינו לגלות את האבר ה- , שחיבור האברים עד אליו נותן

ראשית נגלה את מקום האבר על-פי סכום הסדרה:

עתה משמצאנו את מיקום האבר נמצא את ערכו באמצעות הנוסחא הכללית של הסדרה:

נוסחאת מציאת סכום סדרה[עריכה]

נושאים[עריכה]

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



  • סכום אינדוקציה - ביטוי (כאשר n לא ידוע) + חישוב
  • כאשר יש להוריד אבר/לא להחשיב אותו
  • סדרה הנדסית דוגמא לתרגיל
  • מציאת n פשוט דוגמא ומורכב דוגמא
  • הוכחה של אי-שוויון דוגמא
  • חישוב מכפלת אברים: דוגמא
  • הוצאת גורם משותף בסדרה למציאת סכום סדרה שלא ידוע. דוגמא

דגשים[עריכה]

בתרגיל בהם נצטרך למצוא את האבר הנמצא במקום ה- ובמילים אחרות, את , יש חשיבות של נושא הסדרות, בכדי שנוכל לדעת:

  1. באיזו נוסחא להשתמש - נוסחא של סדרה חשבונית או הנדסית? האם יש כאן הוספה של מספר קבוע או הככפלה?
  2. האבר הבא - בסדרה חשבונית מוסיפים אבר קבוע בעוד שבסדרה הנדסית מכפילים בקבוע. לכן, נוכל לעזר בנתון בכדי לדעת את האבר הבא.

תרגולים[עריכה]

בני גורן, מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006, עמוד 97 תרגילים 92-99.

הערות שולים[עריכה]

  1. ^ לפעמים גם בבגרות נוכל לבצע חישוב ידני
  2. ^ נרחיב עוד על הנושא בהמשך
  3. ^ מתוך :מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035302/תרגיל 3
  4. ^ שמו לב! כיון שמדובר בשני תתי-מספרים עבור אבר, לפעמים מתבלבלים, מה מיקומו של האבר, ערכו של המספר הראשון של תת-האבר או השני, כלומר, האם מיקומו של האבר הוא 20 או 21? תמיד, בתת-מספר, נתיחס אל האבר הראשון כמכריע.
  5. ^ ראה: בגרות חורף 2011