בדיקה

עד האבר המתאים

בדרך כלל, שמים לב למקרה זה כאשר הבדיקה אינה יוצאת נכונה (בהנחה שהצבנו את המספרים הנכונים). באופן כללי, תמיד לאחר הצבת המספר, יש לוודא בסדרה את מיקומו של המספר ולחשב את הסכום המתקבל בסדרה עד לאותו מספר. למשל בדיקה בתרגיל: $1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$ , נותנת לנו מצידו הימין של המשוואה את התשובה: $L:n=1$ ולכן, אנו נחשב את סכום הסדרה עד המספר אחד (שהוא במקרה זה, המספר הראשון). עם זאת, אם התשובה הייתה $n=4$ , היינו מחשבים את הסכום עד לספרה ארבע ומקבלים שהסכום שווה ל $1+2+3+4=10$ ואותו היינו משווים לצד השני של המשוואה. להסבר מעמיק: לחץ פה

דוגמא נוספות: בני גורן 006 עמוד 96 סעיף 91.

הבדיקה אינה נכונה ל- $n=1$

מקרה נוסף שיתכן שיקרה, יהיה כאשר המשוואה תהיה נכונה החל מ- $n$ מסוים והדבר לא יוצן בתרגיל.

למשל, הוכחה שעבור כל $n>2$ האינדוקציה ${\frac {(n+1)(n+2)(n+3)+\cdots +(2n)}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}}\geq n^{2}$ מתקיימת. כאשר נבצע בדיקה של התרגיל נמצא כי עבור $n=3$ הבדיקה שגויה ולכן, ננסה את ה- $n$ הבא:

${\begin{aligned}&n=3\\&2\cdot 3\rightarrow {\frac {4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 3\cdot 5}}\geq 3^{2}\\&2\cdot 4\rightarrow {\frac {5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{3\cdot 5\cdot 7}}\geq 4^{2}\surd \\\end{aligned}}$

יש לציין בסוף הסעיף כי האינדוקציה נכונה החל מ- $n=4$ וכן, גם בשורת הסיכום: "הטענה נכונה עבור כל $n\geq 4$ טבעי על-פי שלושת שלבי האינדוקציה".

נוסחאות שבהן נוסף יותר מאבר אחד בהוכחה באינדוקציה

פעמים רבות קורה שלאחר הוספת $k+1$ החוקיות של התרגיל נפגמת. ההפרש בין $k+1$ והאבר שלפניו, אינו שומר על ההפרש שבין שאר האברים. למשל לאחר הוספת $k+1$ בתרגיל $1+2+\cdots +2k$ הזה, אנו מקבלים את החוקיות: $1+2+\cdots +2k+(2k+2)$ . ההפרש בין $2k$ ל- $(2k+2)$ אינו זהה להפרש בין $1,2,3,4,\dots$ . לכן, עלינו להוסיף אברים בין שני המספרים הנ"ל לשמירה על החוקיות. במקרה זה נצטרך להוסיף אבר אחד והוא $2k+1$ ולכן, נקבל : $1+2+\cdots +2k+(2k+1)+(2k+2)$ . בדרך כלל, המקרה יתרחש כאשר ל- $n$ יש מקדם הגדול מאחד, עם זאת, יש תמיד לשים לב לחוקיות שבין האברים.

תרגילים: נוסחאות שבהן נוסף יותר מאבר אחד בהוכחה באינדוקציה.

נוסחאות שבהן האבר הראשון משתנה

אילו תרגילים בהם האבר הראשון לא ידוע והוא מוצג באמצעות נעלם. בעקבות הוספת הקבוע, האיבר הראשון משתנה ובמילים אחרות, נעלם. למשל, בתרגיל $k+(k+1)+(k+2)+\cdots$ ; בהוספת $k+1$ האבר הראשון משתנה והופך להיות למעשה האבר השני: $(k+1)+(k+2)+(k+3)+\cdots$ .

במצב שכזה עלינו להבחין בפעולה שבין האברים ועל פיה, להתאים את הצבת ההנחה המוצב בשלב הבניינים "על פי ההנחה". למשל, כאשר בין האברים הפעולה היא חיבור:

${\begin{aligned}&k+(k+1)+(k+2)+\cdots 2k={\frac {3k+1}{2}}\\&(k+1)+(k+2)+(k+3)+\cdots 2k+(2k+1)+(2k+2)={\frac {3k+4}{2}}\\&\underbrace {(k+1)+(k+2)+(k+3)+\cdots 2k} _{{\frac {3k+1}{2}}{\color {blue}-k}}\\\end{aligned}}$

לעומת זאת, בתרגיל כפל אנו נבצע פעולת חילוק, שוב בהתאם להנחה.

${\begin{aligned}&k(k+1)(k+2)\cdots 2k={\frac {3k+1}{2}}\\&(k+1)(k+2)(k+3)\cdots 2k(2k+1)(2k+2)={\frac {3k+4}{2}}\\&\underbrace {(k+1)(k+2)(k+3)\cdots 2k} _{\color {blue}{\frac {\frac {3k+1}{2}}{k}}}\\\end{aligned}}$

תרגילים: נוסחאות שבהן האבר הראשון משתנה - אינדוקציה.

אינדוקציה $n$ זוגי או אי-זוגי

סדרה זוגית (למשל, $2,4,6,8,\cdots$ ) או אי-זוגית (למשל, $1,3,5,\cdots$ ), זו סדרה שההפרש בין אבר אחד למשנהו גדול בשני אברים ולכן, נציב בהם $k+2$ . שמו לב לשלב הבדיקה:

כאשר $n$ $n$ אי זוגי
- בדיקה (סעיף 1) - נבדוק עבור $n=1$ .
- בהוכחה (סעיף 3) - נציב $k+2$
כאשר $n$ $n$ זוגי
- בדיקה (סעיף 1) - נבדוק עבור $n=2$ .
- בהוכחה (סעיף 3) - נציב $k+2$