מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/מציאת הנוסחא הכללית של הסדרה

הקדמה

בפרק זה נלמד כיצד מוציאים את $a_{n}$ (הנוסחא הכללית של הסדרה). בכדי להצליח לבצע זאת, נחזור על מושגים מסדרות.

סדרה חשבונית

סדרה בעלת אבר $a_{1}$ קבוע. האבר הבא מתקבל באמצעות הוספת מספר קבוע ($d$) לאבר שקודמו לו. לפיכך : $a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$ . למשל הסדרה: $1,2,3,4,\ldots$

הנוסחא הכללית של הסדרה: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
גורמים נחוצים: $a_{1},d$ 
פעמים נזדקק גם ל- $a_{2}$ ואו מציאת תבנית כללית של הסדרה (על-פי ההגיון הבריא)

דוגמא

מצא את האבר $a_{n}$ לסדרה חשבונית האבר הראשונה בה הוא $3$ והאבר הבא $a_{n+1}=a_{n}+6$ .

פתרון
כאמור, עלינו למצוא שני גורמים $a_{1},d$ . גורם אחד ידוע ומכאן שנותר לנו לגלות את ההפרש בין האברים, לכן, נמצא את האבר השני ונחסיר ממנו את האבר הראשון. ${\begin{aligned}&a_{n+1}=a_{n}+6\\&a_{1}=3\ \Rightarrow \ n=1\\&a_{1+1}=a_{1}+6\\&a_{2}=3+6=9\\&d=9-3=6\\\end{aligned}}$
בתרגיל זה, ההפרש היה טמון בתוך התרגיל, כמובן שלא כך יהיו כל התרגילים. עתה נציב את הגורמים במשוואה הכללית ונמצא את $a_{n}$ ${\begin{aligned}&d=6,a_{1}=3\\&a_{n}=a_{1}+(n-1)d\\&a_{n}=3+(n-1)6\\&a_{n}=3+6n-6\\&a_{n}=6n-3\\\end{aligned}}$

בבגרויות, שלב זה, הוא תת-שלב מתוך האינדוקציה, ראו דוגמא : 2005 חורף, 006 תרגיל 3

סדרה הנדסית/גאומטרית

סדרה בעלת $a_{1}$ קבוע. האבר הבא מתקבל באמצעות הכפלת האבר הקודם לו במספר הקבוע ("$d$" כאן נקרא בשם אחר $q$).

הנוסחא הכללית של הסדרה: $a_{n}=a_{1}*q^{n-1}$
גורמים נחוצים: $a_{1},q$ 
פעמים נזדקק גם ל- $a_{2}$ ואו מציאת תבנית כללית של הסדרה (על-פי ההגיון הבריא)

דוגמא

${\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 11}}+{\frac {1}{11\cdot 16}}+\cdots +a_{n}={\frac {n}{5n+2}}$

פתרון
כאמור, עלינו למצוא שני גורמים $a_{1},q$ . גורם אחד ידוע ומכאן שנותר לנו לגלות את המכפלה בין האברים, לכן נמצא את האבר השני ונחסיר ממנו את האבר הראשון $d=a_{2}-a_{1}$ . שימו לב שהסדרה עלינו אנו מביטים היא המכנהבלבד (להקלה על הפתרון) ולא על המספר השלם (המונה אינו משתנה - לא רלוונטי). ${\begin{aligned}&d=a_{2}-a_{1}\\&a_{1}=1,a_{2}=6\\&d=6-1=5\\\end{aligned}}$
מעולה! עתה, נוכל לומר שהתבנית הכללית היא: $a_{n}={\frac {1}{a_{n}\cdot a_{n+1}}}$ (האבר $a_{n}$ הראשון כפול האבר שאחריו), כלומר זוהי סדרה הנדסית. לכן נמצא את $a_{n}$ ו- $a_{n+1}$
${\begin{aligned}&a_{n}=a_{1}+(n-1)d\\&{\begin{cases}a_{n}=1+(n-1)5\\a_{n}=1+5n-4\\a_{n}=5n-3\\a_{n}=6n-3\end{cases}}\\&a_{n+1}=5n-3\\\end{aligned}}$
נציב את שני האברים בתבנית שיצרנו ונקבל את הפתרון
${\begin{aligned}&a_{n}={\frac {1}{a_{n}\cdot a_{n+1}}}\\&a_{n}={\frac {1}{(5n-4)(5n-4)}}\\\end{aligned}}$

• קיים דוגמא בבגרות צריך לקשר

שימוש ב– $n$

פעמים רבות נאלץ לבצע הצבות בנוסחאות בכדי להגיע לאברים אחרים בסדרה, כמו למשל, כאשר נרצה למצוא את הנוסחא הכללית לסדרה זוגית. בחלק זה של הפרק, נביא דוגמא שתדגיש את אופן השימוש ב- $n$ .

נתון הנוסחא: $a_{n+1}=a_{n+2}+3n$ אם נביט על הנוסחא של הסדרה נוכל להשים לב כי הנוסחא נוסגת באבר, ביחס לאגף הימני עבור האבר הראשון ($a_{n+2}$) ועולה באיבר עבור האבר השני ($3_{n}$). כלומר, אם נרצה למצוא את האיבר $a_{2n}$ יהיה עלינו להציב $n-1$ מצדו הימני של נוסחא:

${\begin{aligned}&a_{n+1+n-1}=a_{n+2+n-1}+3(n+n-1)\\&A_{2n}=a_{2n+1}+3(2n-1)\\\end{aligned}}$

• דוגמא

דגשים

בתרגיל בהם נצטרך למצוא את האבר הנמצא במקום ה- $n$ ובמילים אחרות, את $a_{n}$ , יש חשיבות של נושא הסדרות, בכדי שנוכל לדעת:

1. באיזה נוסחא להשתמש - נוסחא של סדרה חשבונית או הנדסית? האם יש כאן הוספה של מספר קבוע או הככפלה?
2. האבר הבא - בסדרה חשבונית מוסיפים אבר קבוע בעוד שבסדרה הנדסית מכפילים בקבוע. לכן, נוכל לעזר בנתון בכדי לדעת את האבר הבא.
3. באינדוקציה עם סמנים מתחלפים, יש להכפיל את הנוסחא של $a_{n}$ המתקבלת, בביטוי $(-1)^{n+1}$

תרגולים

בני גורן, מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006, עמוד 97 תרגילים 92-99.

ראה גם

1. סדרה חשבונית.
2. סדרה הנדסית.