טוען את הטאבים...

תרגיל

האיבר הכללי של סדרה הוא $a_{n}={\frac {(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}-1}}$

הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $\ n$ טבעי, מכפלת $\ n$ האיברים הראשונים בסדרה שווה ל- ${\frac {2(n+1)}{n+2}}$ .
חשב את המכפלה: ${\frac {16}{15}}*{\frac {25}{24}}*\cdots *{\frac {256}{255}}$

נושאים

אינדוקציה,חישוב סכום

מקור

[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון[עריכה]

סעיף 1[עריכה]

ראשית עלינו לרשום את הסדרה במילים : $\ a_{1}*a_{2}*a_{3}*\cdots *{\frac {(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}-1}}={\frac {2(n+1)}{n+2}}$ ונמצא את שני האיברים הראשונים בשביל הנחות :
${\begin{aligned}&a_{n}={\frac {(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}-1}}\\&a_{1}={\frac {(1+1)^{2}}{(1+1)^{2}-1}}={\frac {4}{3}}\\&a_{2}={\frac {(2+1)^{2}}{(2+1)^{2}-1}}={\frac {9}{8}}\\\end{aligned}}$

הסדרה : $\ {\frac {4}{3}}*{\frac {9}{8}}*\cdots *{\frac {(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}-1}}={\frac {2(n+1)}{n+2}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$ [עריכה]

${\begin{aligned}&L_{eft}:{\frac {4}{3}}=R_{ight}{\frac {2(1+1)}{1+2}}\\&L_{eft}:{\frac {4}{3}}=R_{ight}{\frac {4}{3}}\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי[עריכה]

${\frac {4}{3}}*{\frac {9}{8}}*\cdots *{\frac {(k+1)^{2}}{(k+1)^{2}-1}}={\frac {2(k+1)}{k+2}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1[עריכה]

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {4}{3}}*{\frac {9}{8}}*\cdots *{\frac {(k+1)^{2}}{(k+1)^{2}-1}}} _{\frac {2(k+1)}{k+2}}*{\frac {(k+2)^{2}}{(k+2)^{2}-1}}={\frac {2(k+2)}{k+3}}\\&{\frac {2(k+1)}{k+2}}*{\frac {(k+2)^{2}}{(k+2)^{2}-1}}={\frac {2(k+2)}{k+3}}\\&{\frac {2(k+1)}{k+2}}*{\frac {(k+2)^{2}}{(k^{+}4k+3)}}={\frac {2(k+2)}{k+3}}\\&{\frac {2(k+1)(k+2)^{2}}{(k+2)(k+3)(k+1)}}={\frac {2(k+2)}{k+3}}\\&{\frac {2(k+2)}{(k+3)}}={\frac {2(k+2)}{k+3}}\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2[עריכה]

עלינו לגלות את מכפלת האיברים : ${\frac {16}{15}}*{\frac {25}{24}}*\cdots *{\frac {256}{255}}$ .

הסכום אותו עלינו לגלות הוא של האיברים : $\ S_{{\frac {4}{3}}-{\frac {9}{8}}}$ , כלומר, עלינו לגלות את $\ n$ עבור המספר $\ n={\frac {9}{8}}$ . נביט באיבר הכללי של סדרה $a_{n}={\frac {(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}-1}}$ . $\ n=2$ אפשר לראות או לחשב ( $\ (n+1)^{2}=9$ ). מכן שסכום אותו עלינו לגלות הוא מאיבר הראשון עד השbי : $\ S_{1-2}$ .

הסכום השני אותו עלינו לגלות הוא מהאיבר : $\ S_{{\frac {4}{3}}-{\frac {256}{255}}}$ , כלומר, עלינו לגלות את $\ n$ עבור האיבר $\ {\frac {256}{255}}$ . נעזר שוב בנוסחאת האיבר כללי של הסדה ונגלה ( $\ (n+1)^{2}=256$ ) ש- $\ n=15$ . מכן שסכום אותו עלינו לגלות הוא מאיבר הראשון עד החמישה עשר : $\ S_{1-15}$ .

נמצא את המכפלה באמצעות : ${\frac {2(n+1)}{n+2}}$

${\begin{aligned}&S_{1-15}={\frac {2(15+1)}{15+2}}={\frac {32}{17}}\\\color {blue}\div \\&{\underline {S_{1-2}={\frac {2(2+1)}{2+2}}={\frac {6}{4}}}}\\&={\frac {32}{17}}*{\frac {4}{6}}=1.25\\\end{aligned}}$