מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ב/035302/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי לכל $\ n$ טבעי מתקיים : $\ 1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$. חשב את הסכום : $\ 21*22+22*23+\cdots +40*41$
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
מקור	[1]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L_{eft}:1(1+1)=R_{ight}{\frac {1(1+1)(1+2)}{3}}\\&L_{eft}:2=R_{ight}{\frac {2}{\surd }}\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)+(k+1)(k+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\\&\underbrace {1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)} _{\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}+(k+1)(k+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\\&{\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}+(k+1)(k+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\\&k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)\\&(k+1)(k+2)[k+3]=(k+1)(k+2)(k+3)\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

כיוון שתרגיל האינדוקציה מאוד פשוטה, אפשר לראות את ה-$\ n$ ישר מהתרגיל : $\ 1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)$ ($\ n=20$ ו-$\ n=40$) ולגלות את הסכום על פי סכום האינדוקציה : ${\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$, כלומר עלינו לבצע $\ S_{1-401}-S_{1-20}$.שמו לב,שזוהי סדרה הנדסית, כלומר, כל איבר בה, הוא איבר $\ a_{n}$ כפול האיבר אחריו $\ a_{n}*a_{n+1}$. לכן, אנו מסתכלים על האיבר הראשון שנכפל ($\ a_{n}$) ואותו מציבים.

${\begin{aligned}&S_{40}={\frac {40(40+1)(40+2)}{3}}=22960\\-\\&{\underline {S_{20}={\frac {20(20+1)(20+2)}{3}}=3080}}\\&S_{21-40}=19880\\\end{aligned}}$