מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשע"א/035006/תרגיל 2

התרגיל

א. הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $\ n$ טבעי גדול מ-$\ 1$ מתקיים : ${\begin{aligned}&2^{n-1}(2^{n}+3^{n})>5^{n}\\\end{aligned}}$ ב. בהסתמך על סעיף א' הוכח : ${\begin{aligned}&2^{1+2+3+\cdots +100}(2^{2}+3^{2})(2^{3}+3^{3})(2^{4}+3^{4})*\cdots *(2^{101}+3^{101})>5^{5150}\end{aligned}}$

נושא: אינדוקציה אי שיוויונים! (נוסף סעיף מספיק לומר)

מקור : [1]

סעיף א'

${\begin{aligned}&2^{n-1}(2^{n}+3^{n})>5^{n}\\\end{aligned}}$

בדיקה עבור $\ n>1$, נציב $\ n=2$ :

${\begin{aligned}&2^{2-1}(2^{2}+3^{2})>5^{2}\\&26>25\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\begin{aligned}&2^{k-1}(2^{k}+3^{k})>5^{k}\\\end{aligned}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k+1$

${\begin{aligned}&2^{k}(2^{k+1}+3^{k+1})>5^{k+1}\\\end{aligned}}$

מספיק לומר

שמו לב, בדרך כלל, אנו נעזרים בהצבה בכדי להיפטר מה"שלוש נקודות" או בכדי להיפטר מהגורמים מהמשוואה השמאלית. בתרגיל זה, אנו נציב את ההנחה בצידו הימני של התרגיל. כי אם נוכיח שמתקיים האי שויון

${\begin{aligned}&2^{k}(2^{k+1}+3^{k+1})>5{\color {blue}(2^{k-1}(2^{k}+3^{k}))}\\\end{aligned}}$

אז לפי הנחת האינדוקציה מתקיים

${\begin{aligned}&2^{k}(2^{k+1}+3^{k+1})>5{\color {blue}(2^{k-1}(2^{k}+3^{k}))}>55^{k}=5^{k+1}\\\end{aligned}}$

מש"ל

פישוט

${\begin{aligned}&2^{k}(2^{k+1}+3^{k+1})>5(2^{k-1}(2^{k}+3^{k}))\\&2^{2k+1}+2^{k}*3^{k+1}>5(2^{2k-1}+2^{k}*3^{k})\\&2^{2k}*2+2^{k}*3^{k}*3>5*2^{2k-1}+5*2^{k+1}*3^{k}/*2\\&2^{2k}*4+2^{k}*3^{k}*6>5*2^{2k}+5*2^{k}*3^{k}/:2^{k}\\&2^{k}*4+3^{k}*6>5*2^{k}+5*3^{k}/-2^{k}*4-5*3^{k}\\&3^{k}>2^{k}\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה לכל $\ n>1$ על פי שלושת שלבי האינדוקציה

סעיף ב'

האינדוקציה : $\ 2^{n-1}(2^{n}+3^{n})>5^{n}$

הוכחה של אי שיוויון (זה לא חישוב סכום) : ${\begin{aligned}&2^{1+2+3+\cdots +100}(2^{2}+3^{2})(2^{3}+3^{3})(2^{4}+3^{4})*\cdots *(2^{101}+3^{101})>5^{5150}\end{aligned}}$

מה הולך פה?

ראשית נבין מה הולך בתרגיל, נחלק אותו לחלקים על פי האינדוקציה וכו' האינדוקציה : ${\color {blue}2^{n-1}}{\color {green}(2^{n}+3^{n})}>5^{n}$
ההוכחה :${\color {blue}2^{1+2+3+\cdots +100}}{\color {green}(2^{2}+3^{2})}(2^{3}+3^{3})(2^{4}+3^{4})*\cdots *(2^{101}+3^{101})>5^{5150}$
הסבר : אם נביט בצידו השמאלי של אי השיוויון נוכל לראות שלמעשה צמצמו את הסדרה, באמצעות שימוש חוקי חזקות, כך, שבמקום לרשום מספר פעמים את הספרה $\ 2$ הוסיפו לחזקה שלה את מספר הפעמים שהופיע בתרגיל, כלומר, הסדרה הייתה אמורה להראות : $2^{1}*(2^{2}+3^{2})*2^{2}*(2^{3}+3^{3})*2^{3}(2^{4}+3^{4})*\cdots$. נזכור את שלב זה, זהו רמז לכך שכאשר פתור את התרגיל, יהיה עלינו לפרקו.

מה ה-$\ n$?

על פי צידו השמאלי של אי השיוויון, קל לראות כי באמצעות האיבר הראשון בסדרה אפשר לגלות את מספר האיברים בה $\ 2^{{\color {red}n}-1}$ הוא $\ 2^{101}$ ומכאן ש $\ n-1=101\Rightarrow n=100$.
באסה, אי אפשר לחשב ידנית, כך, שאי אפשר לדעת אם טעינו בחישוב או לא.

נחשב את סכום הסדרה

כרגע, יש לנו ערך עם הרבה נקודות, אנחנו רוצים להיפטר ממנו, בכדי שנוכל לדעת האם הוא באמת גדול מ $\ 5^{5150}$. למה לא לפנות אל צידו השני של אי השיוויון? כי אין לנו מושג מה לעשות איתו ורק ניחוש יהיה יעיל (יתכן . הוא לא מפריע לנו, $\ 5^{5150}$ ניתן לחשב אותו (טרכנית - במחשבון לא - רמז), לעומת זאת, איבר שיש בו מלא נקודות לא ניתן לחישוב

כפי שצינו, נפרק את התרגיל (בדרך כלל, זה מה שקורה בהוכחה - אי שיוויון) בכדי להבין את את טיבו.
${\begin{aligned}{\begin{array}{|c|c|}n&2^{1+2+3+\cdots +100}(2^{2}+3^{2})(2^{3}+3^{3})(2^{4}+3^{4})*\cdots *(2^{101}+3^{101})>5^{5150}\\\hline n=2&2^{1}(2^{2}+3^{2})>5^{2}\\n=3&2^{2}(2^{3}+3^{3})>5^{3}\\\vdots &\vdots \\n=101&2^{100}(2^{101}+3^{101})>5^{101}\\\end{array}}\\&\Rightarrow 2^{2-101}*()>{\color {blue}5^{2-101}}\\\end{aligned}}$

אם נמצא את הקשר בין המספר $\ 5^{2-101}$ (קטן למשוואה) למספר $\ 5^{5150}$, נוכל לעמוד על טיב מערכת היחסים המוצגת .

נניח ולא עלינו על הערת השולים. נמצא את גודל האיבר $\ 5^{2-101}$. החזקה של האיבר היא סדרה חשבונית נעזר בנוסחא סכום סדרה בכדי לגלות את ערכה :
${\begin{aligned}&s=(a_{1}+a_{n}){\frac {n}{2}}\\&s=(2+101){\frac {100}{2}}\\&S=5150\\\end{aligned}}$

הפלא ופלא, הסכום שמצאנו שווה לסכום החזקה ומכאן שהוכחנו את הטענה.