שיחה:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום

בגרות 2010 (תשעא) חורף שאלה 2ב [1]

מישהו יכול להסביר לי את אינדוקציה ב' בבגרות תשעא חורף? איך הייתי אמור לגלות את זה בעצמי?

פעם הבאה להוסיף שאלון (006) - לא כולם יודעים שרק בשאלון זה יש אינדוקציה...אנסה להראות לך את דרך החשיבה - כאשר נתקעים וכאשר מצליחים. ‏Illuyanka‏ 09:17, 1 במאי 2011 (IDT)

פתרון

התרגיל : $2\ast 4+5\ast 16+8+64+\cdots +26\ast 262,144$ - חשב את הסכום.

1. כל איבר שמפורט בתחילת האינדוקציה - חשוב ("לא סתם בזבזו דיו").
2. צריך לגלות את $n$ האיבר האחרון שמוצג בסדרה לעיל. זאת בכדי שנוכל להציב את האיבר בסכום ולגלות את ערך כל הסדרה עד אותו מספר.

הסדרה : $2\ast 4+5\ast 4^2+5\ast 4^3+11\ast 4^4+\cdots +(6n-1)4^{2n}=S$.
הסכום ($s$): $\frac{(6n-2)\ast 4^{2n+1}+8}{3}$

1. איך מגלים את $n=26\ast 262,144$? באמצעות חוקיות.

מציאת חוקיות

1. שמים לב שמספר האיברים המוצגים לפנינו הוא ארבע איברים (לא סתם!)
2. היחסים בין האיברים :
3. קפיצות של $+3$ כאשר איבר אחד מוכפל ב-$4^k$.
   • מעולה! $26\ast 4^{?}$. כיוון שהמספר $26$ לא כזה רחוק מהסדרה שלנו אפשר לחשב את ה-$n$ באופן ידני : $2,5,8,11,14,17,20,23,26$. לכן, $4^{2n}=9$
4. מציבים את המספר באיבר האחרון של הסדרה $\underset{26}{\underbrace{(6n-1)}}\ast \underset{262,144}{\underbrace{4^{2n}}}$. מקבלים $(6n-1)=26$. פותחים את המשוואה וגלים שנתקענו!
5. מתאוששים. לא נכנעים!
6. חוזרים להתחלה - כמה איברים מוצגים בסדרה? ארבע - לא סתם!. מה עוד אפשר לומר על הסדרה? פעם איבר זוגי ופעם איבר אי זוגי.
7. אהה! הסדרה היא בעלת שתי תתי איבר. האיבר הראשון הוא $2\ast 4+5\ast 4^2$. לכן, הציגו ארבעה איברים, לכן, הם זוגי-אי זוגי.
8. מה עכשיו? מביטים על האיבר שלנו, הוא רק תת מספר אחד (הראשון-זוגי) ולכן נמצא את תת איבר שני $26+3=29$.
9. הפעם נשווה את המספר הנכון $(6n-1)=29$. ומכאן $n=5$. נציב אותו ב-$4^2$ ונקבל שערכו הוא $10$.
10. ממראים! $s_{1-29}-s_{29}=s_{1-26}$ (צריך בסוף להוריד את האיבר האחרון - אנחנו לא יודעים לכמה שווה $4^{2n}$ של (המספר $26$).

$\begin{array}{cc}& \frac{(6n-2)\ast 4^{2n+1}+8}{3}\\ & \frac{(6\ast 5-2)\ast 4^{2\ast 5+1}+8}{3}-29\ast 4^{10}\\ & 39,146840-29\ast 4^{10}=8,738,136\\ \end{array}$

בגרות קיץ תש"ע שאלון 006

הוחכנו כי הביטוי $\frac{n^3-25n}{24}$.
סעיף ב', נתון $a+b+c+d$ מתחלק ללא שארית ב-$24$. הוכח כי הביטוי $a^3+b^3+c^3+d^4$ מתחלק ב-$24$ ללא שארית.

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

בגרות קיץ תשעא 006 סעיף 2ב

אשמח אם מישהו תוכלו להסביר כפי שהסברתם את הפתרון הקודם עבור השאלה מהבגרות האחרונה במתמטיקה. הנה קישור לשאלון http://fgcl16.n1.gns.co.il/bagrut/2011/math_2011_summer_A_Q_006.pdf

1. הפניה:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/2011 קיץ מועד א'/שאלון 006/תרגיל 2