- משפט
תהי
פונקציה רציפה. יהי
מספר ממשי עבורו
או
.
אזי קיים
עבורו
.
הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (1)[עריכה]
נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור
אנו רוצים למצוא מספר
עבורו
.
נגדיר קבוצה
.
ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה,
חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון
. נוכיח כי
.
- נניח
. מהרציפות נובע שבפרט עבור
קיים
כך שלכל
מתקיים

- אך לכל
מתקיים
. סתירה.
- נניח
. באופן דומה נובע שבפרט עבור
קיים
כך שלכל
מתקיים

- אך לכל
מתקיים
. סתירה.
לכן
.
הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (2)[עריכה]
הוכחה זו כמעט זהה לקודמתה, אך ניסוחה מסובך יותר.
נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור
אנו רוצים למצוא מספר
עבורו
.
נגדיר קבוצה
.
ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה,
חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון
. נוכיח כי
.
מרציפות
נובע שלכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
. כלומר

- בכל סביבה
יש אבר של
. בפרט קיים בסביבה זו
עבורו

- בכל סביבה
אין אבר של
. בפרט קיים בסביבה זו
עבורו

עקב התנאים הנ"ל מתקיים על־פי כלל הסנדוויץ'

לכן
כמבוקש.
הוכחה באמצעות חציה לקטעים[עריכה]
אם
, אז ההוכחה גמורה מכיון ש-
האפשרי היחיד הוא
(או
) המתקבל בנקודות
. אזי, נניח
.
נגדיר את פונקצית העזר הבאה:
. נשים לב כי מתקיים
וכן
. תהי
. קיימות שלוש אפשרויות:
א)
וסיימנו.
ב)
ואז נתבונן בקטע
ג)
ואז נתבונן בקטע
בשני המקרים האחרונים מתקיים
ו-
ו-
.
נמשיך ע"י חציית הקטעים באופן דומה. בשלב ה-
-י נתון הקטע
כך ש-
ואנו בוחרים בנקודה
וכדומה.
אם התהליך נעצר בשלב סופי, כלומר קיים
כך ש-
אז סיימנו כי אז
. אחרת, בנינו סדרות המקיימות:
סדרה מונוטונית עולה שחסומה מלעיל ע"י
ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה
.
סדרה מונוטונית יורדת שחסומה מלרע ע"י
ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה
.
באופן שמתקיים
.
נשים לב, שאופיו של תהליך החציה שלנו בקטע הנתון מקיים:

הסדרה השמאלית היא סדרה קבועה שמתכנסת ל-0. הסדרה הימנית גם כן מתכנסת ל-0. הסדרה האמצעית מתכנסת ל-

עפ"י
החוק להפרש גבולות. לכן, נובע מ
כלל הסנדוויץ' כי

הוא ביטוי אשר מתכנס ל-0. לפיכך,

ונסמן גבול זה

.
(הערה: לחילופין, היינו יכולים להשתמש בלמה של קנטור כדי להראות שהסדרות מתכנסות ולאותו הגבול)
נתבונן בסדרות
.
היא פונקציה רציפה כהפרש של פונקציות רציפות ו-
, לכן
. באופן דומה
.
מאחר ו-
לכל
והסדרות
מתכנסות, אזי נובע מהמשפט מונטוניות של גבולות כי
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Big [}g(a_{n})\cdot g(b_{n}){\Big ]}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ad0e332fca176bdd668075707951792fa4f473)
מאידך גיסא, עפ"י החוק למכפלת גבולות, מקבלים כי:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Big [}g(a_{n})\cdot g(b_{n}){\Big ]}=\lim _{n\to \infty }g(a_{n})\cdot \lim _{n\to \infty }g(b_{n})=g(x_{0})\cdot g(x_{0})=g(x_{0})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc3df42b829bc15278efd046679eb9563affed3)
קיבלנו כי
וזה נכון אם ורק אם
כמבוקש.