לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/משפט ערך הביניים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

תהי פונקציה רציפה. יהי מספר ממשי עבורו או .

אזי קיים עבורו .

הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (1)[עריכה]

נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור אנו רוצים למצוא מספר עבורו .

נגדיר קבוצה .

ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון . נוכיח כי .

  • נניח . מהרציפות נובע שבפרט עבור קיים כך שלכל מתקיים
אך לכל מתקיים . סתירה.
  • נניח . באופן דומה נובע שבפרט עבור קיים כך שלכל מתקיים
אך לכל מתקיים . סתירה.

לכן .

הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (2)[עריכה]

הוכחה זו כמעט זהה לקודמתה, אך ניסוחה מסובך יותר.

נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור אנו רוצים למצוא מספר עבורו .

נגדיר קבוצה .

ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון . נוכיח כי .

מרציפות נובע שלכל קיים כך שלכל מתקיים . כלומר

  • בכל סביבה יש אבר של . בפרט קיים בסביבה זו עבורו
  • בכל סביבה אין אבר של . בפרט קיים בסביבה זו עבורו

עקב התנאים הנ"ל מתקיים על־פי כלל הסנדוויץ'

לכן כמבוקש.

הוכחה באמצעות חציה לקטעים[עריכה]

אם , אז ההוכחה גמורה מכיון ש- האפשרי היחיד הוא (או ) המתקבל בנקודות . אזי, נניח .

נגדיר את פונקצית העזר הבאה: . נשים לב כי מתקיים וכן . תהי . קיימות שלוש אפשרויות:

א) וסיימנו.

ב) ואז נתבונן בקטע

ג) ואז נתבונן בקטע

בשני המקרים האחרונים מתקיים ו- ו- .

נמשיך ע"י חציית הקטעים באופן דומה. בשלב ה--י נתון הקטע כך ש- ואנו בוחרים בנקודה וכדומה.

אם התהליך נעצר בשלב סופי, כלומר קיים כך ש- אז סיימנו כי אז . אחרת, בנינו סדרות המקיימות:

  • סדרה מונוטונית עולה שחסומה מלעיל ע"י ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה .
  • סדרה מונוטונית יורדת שחסומה מלרע ע"י ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה .

באופן שמתקיים .

נשים לב, שאופיו של תהליך החציה שלנו בקטע הנתון מקיים:

הסדרה השמאלית היא סדרה קבועה שמתכנסת ל-0. הסדרה הימנית גם כן מתכנסת ל-0. הסדרה האמצעית מתכנסת ל- עפ"י החוק להפרש גבולות. לכן, נובע מכלל הסנדוויץ' כי הוא ביטוי אשר מתכנס ל-0. לפיכך, ונסמן גבול זה .

(הערה: לחילופין, היינו יכולים להשתמש בלמה של קנטור כדי להראות שהסדרות מתכנסות ולאותו הגבול)

נתבונן בסדרות ‏. היא פונקציה רציפה כהפרש של פונקציות רציפות ו- , לכן . באופן דומה .

מאחר ו- לכל והסדרות מתכנסות, אזי נובע מהמשפט מונטוניות של גבולות כי

מאידך גיסא, עפ"י החוק למכפלת גבולות, מקבלים כי:

קיבלנו כי וזה נכון אם ורק אם כמבוקש.