הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הגדרת רציפות[עריכה]

פונקציה רציפה בנקודה אם היא קיים לה גבול בנקודה, והיא מוגדרת וערכה שווה לערך הגבול. כלומר:

משפט (סכום והפרש של פונקציות רציפות)

אם רציפות בנקודה , אזי רציפה בנקודה .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של סכום והפרש ונקבל:

משפט (מכפלת פונקציות רציפות)

אם רציפות בנקודה , אזי רציפה בנקודה .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של מכפלה ונקבל:

משפט (מנת פונקציות רציפות)

אם רציפות בנקודה ו־ , אזי רציפה בנקודה .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים ו־ , ניתן להשתמש בגבול של מנה ונקבל:

משפט (הרכבה של פונקציות רציפות)

אם ו־ רציפה ב־ (כלומר ), אזי .

הוכחה בלשון

יהי . נתון כי רציפה בנקודה , לכן קיים כך שלכל מתקיים ‏(1).

כמו־כן, נתון ולכן קיים כך שלכל המקיים מתקיים ‏(2).

מ־(2) נסיק כי לכל המקיים מתקיים ולכן עבור נקבל מ־(1) כי כדרוש.

הוכחה בלשון סדרות

בכדי להראות כי רציפה ב־ , מספיק להוכיח שלכל סדרה המקיימת אזי .

תהי סדרה המקיימת . על־פי הנתון . מאחר ו־ רציפה ב־ , מתקיים . לכן רציפה ב־ .