הגדרת רציפות[עריכה]
פונקציה
רציפה בנקודה
אם היא קיים לה גבול בנקודה, והיא מוגדרת וערכה שווה לערך הגבול. כלומר:

- משפט (סכום והפרש של פונקציות רציפות)
אם
רציפות בנקודה
, אזי
רציפה בנקודה
.
- הוכחה
כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של סכום והפרש ונקבל:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)\pm \lim _{x\to a}g(x)=f(a)\pm g(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059815d298cb845bf4f4dc94f00a6f98de44b614)
- משפט (מכפלת פונקציות רציפות)
אם
רציפות בנקודה
, אזי
רציפה בנקודה
.
- הוכחה
כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של מכפלה ונקבל:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)=f(a)\cdot g(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7cf516896f2b19c0dfc9bcb7128d16f19766c54)
- משפט (מנת פונקציות רציפות)
אם
רציפות בנקודה
ו־
, אזי
רציפה בנקודה
.
- הוכחה
כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים ו־
, ניתן להשתמש בגבול של מנה ונקבל:

- משפט (הרכבה של פונקציות רציפות)
אם
ו־
רציפה ב־
(כלומר
), אזי
.
- הוכחה בלשון

יהי
. נתון כי
רציפה בנקודה
, לכן קיים
כך שלכל
מתקיים
(1).
כמו־כן, נתון
ולכן קיים
כך שלכל
המקיים
מתקיים
(2).
מ־(2) נסיק כי לכל
המקיים
מתקיים
ולכן עבור
נקבל מ־(1) כי
כדרוש.
- הוכחה בלשון סדרות
בכדי להראות כי
רציפה ב־
, מספיק להוכיח שלכל סדרה
המקיימת
אזי
.
תהי
סדרה המקיימת
. על־פי הנתון
. מאחר ו־
רציפה ב־
, מתקיים
. לכן
רציפה ב־
.