הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות

הגדרת רציפות

פונקציה $f$ רציפה בנקודה $a$ אם היא קיים לה גבול בנקודה, והיא מוגדרת וערכה שווה לערך הגבול. כלומר:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

משפט (סכום והפרש של פונקציות רציפות)

אם $f,g$ רציפות בנקודה $a$ , אזי $f\pm g$ רציפה בנקודה $a$ .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של סכום והפרש ונקבל:

$$\underset{x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x)\pm \underset{x\to a}{lim}g(x)=f(a)\pm g(a)$$

$◼$

משפט (מכפלת פונקציות רציפות)

אם $f,g$ רציפות בנקודה $a$ , אזי $f\cdot g$ רציפה בנקודה $a$ .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של מכפלה ונקבל:

$$\underset{x\to a}{lim}[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{lim}g(x)=f(a)\cdot g(a)$$

$◼$

משפט (מנת פונקציות רציפות)

אם $f,g$ רציפות בנקודה $a$ ו־$g(a)\ne 0$ , אזי $\frac{f}{g}$ רציפה בנקודה $a$ .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים ו־$g(a)\ne 0$ , ניתן להשתמש בגבול של מנה ונקבל:

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f(x)}{\underset{x\to a}{lim}g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}$$

$◼$

משפט (הרכבה של פונקציות רציפות)

אם $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=z_0$ ו־$f$ רציפה ב־$z_0$ (כלומר $\underset{x\to z_0}{lim}f(x)=f(z_0)$), אזי $\underset{x\to x_0}{lim}(f\circ g)(x)=f(\underset{x\to x_0}{lim}g(x))=f(z_0)$ .

הוכחה בלשון $\epsilon ,\delta$

יהי $\epsilon >0$ . נתון כי $f$ רציפה בנקודה $z_0$ , לכן קיים ${\delta }_1>0$ כך שלכל$|z-z_0|<{\delta }_1$ מתקיים $|f(z)-f(z_0)|<\epsilon$ ‏(1).

כמו־כן, נתון $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=z_0$ ולכן קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ מתקיים $|g(x)-z_0|<{\delta }_1$ ‏(2).

מ־(2) נסיק כי לכל $x$ המקיים $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ מתקיים $|g(x)-z_0|<{\delta }_1$ ולכן עבור $z=g(x)$ נקבל מ־(1) כי $\left|f\right(g(x))-f(z_0)|<\epsilon$ כדרוש.

$◼$

הוכחה בלשון סדרות

בכדי להראות כי $(f\circ g)(x)$ רציפה ב־$x_0$ , מספיק להוכיח שלכל סדרה $\{x_n\}$ המקיימת $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0$ אזי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(g(x_n))=f(g(x_0))$ .

תהי $\{x_n\}$ סדרה המקיימת $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0$ . על־פי הנתון $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x_n)=z_0$ . מאחר ש־$f$ רציפה ב־$z_0$ , מתקיים $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(g(x_n))=f(z_0)$ . לכן $f(g(x))$ רציפה ב־$x_0$ .

$◼$