הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/הלמה של קנטור

משפט

תהיינה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ שתי סדרות עבורן $a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n}$ . אם מתקיים $\lim _{n\to \infty }{\Big [}b_{n}-a_{n}{\Big ]}=0$ אזי שתי הסדרות מתכנסות ומתקיים $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ .

ניסוח שקול:

תהי ${\Big \{}{\big [}a_{n},b_{n}{\big ]}{\Big \}}_{n=1}^{\infty }$ סדרת קטעים סגורים, כך שמתקיים ${\big [}a_{n+1},b_{n+1}{\big ]}\subseteq {\big [}a_{n},b_{n}{\big ]}$ . אם מתקיים $\lim _{n\to \infty }{\Big [}b_{n}-a_{n}{\Big ]}=0$ אז קיימת נקודה יחידה המשותפת לכל הקטעים.

הוכחה

נוכיח בניסוח הסדרתי.

$a_{n}$ סדרה מונוטונית עולה ולכן חסומה מלרע ע"י $a_{1}$ . בכל אופן יש להוכיח כי הסדרה חסומה מלעיל על־ידי כל שאר אברי $b_{n}$ (לפי הקשר בין הסדרות).

$b_{n}$ סדרה מונוטונית יורדת ולכן חסומה מלעיל ע"י $b_{1}$ . בכל אופן יש להוכיח כי הסדרה חסומה מלרע על־ידי כל שאר אברי $a_{n}$ (לפי הקשר בין הסדרות).

אזי שתי הסדרות הן מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. ניתן להשתמש באריתמטיקה של גבולות באופן הבא: $$\lim _{n\to \infty }{\Big [}b_{n}-a_{n}{\Big ]}=\lim _{n\to \infty }b_{n}-\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$$ לכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ .

$\blacksquare$