אנליזה נומרית/שיטות איטרטיביות פשוטות מסדר ראשון

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שיטת החיתוך עם [עריכה]

שיטה זו ידועה גם בשם "שיטת הקירובים העוקבים". אנו מחפשים את ערכי עבורם . נשנה מעט את צורת הפונקציה כדי לקבל את המשוואה: , כך שאם הוא שורש של אז בהכרח מתקיים . כלומר היא השיטה האיטרטיבית.

סדרת הקירובים שלנו, אם כן, תתקבל על-ידי: .

המוטיבציה: בוחרים בפונקציה כי קואורדינאטות שלה זהות ולכן היא נוחה לטיפול.

בדיקת סדר האיטרציה[עריכה]

כזכור, השגיאה באיטרציה ה--ית היא . נציב לשיטה ונקבל:

כלומר, בקירוב ולכן זאת שיטה מסדר ראשון (במידה והשיטה מתכנסת ו- ). במידה והנגזרת הראשונה בשורש מתאפסת, סדר השיטה יקבע לפי סדר הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת (ראו סדר התכנסות).

תקפות השיטה[עריכה]

Blue think.svg השגיאה באיטרציה ה--ית (סדר 1):

על-פי התוצאה הנ"ל, נאמר ש- . כעת, נבצע הזזת אינדקסים עד שנגיע לקשר בין  :

Blue think.svg שיטה איטרטיבית מסדר ראשון:

נבצע הזזת אינדקסים אחרונה () כדי לקבל: .

על-מנת שתהיה התכנסות, השגיאה אמורה לקטון בכל איטרציה, ולכן נסיק שתנאי הכרחי להתכנסות הוא . לכן כאשר נבחר פונקציה , נדאג שהשיפוע שלה (בערך מוחלט) בתחום החיפוש יהיה קטן מ-1.

שיפוע הפונקציה חיובי וקטן מאחד
שיפוע הפונקציה שלילי וקטן מאחד

ככל ש- קטן יותר מ-1, כך ההתכנסות מהירה יותר. כאשר השיפוע גדול מאחד, האיטרציות מתבדרות. במקרים "חריגים", כאשר הפונקציה אינה מונוטונית, השיטה לפעמים תתכנס ולפעמים לא, תלוי בפונקציה ובניחוש ההתחלתי.

דרך אחרת לבדיקת תקפות השיטה:
אנו יודעים כי וכי . נחסיר את המשוואות זו מזו ונקבל: . כעת נכפול ונחלק את אגף ימין ב- ונשתמש במשפט לגראנז':

כאשר c נמצאת בין . נניח כי m הוא הערך המקסימלי של בתחום החיפוש. אזי מתקיים:

ניתן להמשיך כך עם סדרת אי השוויונות, בדומה להוכחה הקודמת, עד שנגיע בסופו של התהליך ל:

שוב, נבצע הזזת אינדקסים לקבלת: ואז אם בכל תחום החיפוש, אז לכל בחירה של x0, כאשר n ילך ויגדל, המרחק בין xn ל-α ילך ויקטן.

דוגמאות[עריכה]

לשם הפשטות, ננתח את הפונקציה . קל לראות כי α=2. נזכור כי סדרת הקירובים מתקבלת על ידי: . ניתן למצוא אינסוף שיטות איטרטיביות כאלו, אנו נתבונן בשתיים מהן:


x0=1.9 x0=2.1

x1=0.759
x2=-6.803
x3=-329.651
התבדרות!

x1=3.361
x2=33.327
x3=37,041.25
התבדרות!


x0=1.9 x0=2.1

x1=2.042
x2=1.977
x3=2.011
התכנסות!

x1=1.942
x2=2.026
x3=1.986
התכנסות!


קיבלנו, אם כן, שעבור g1 אין התכנסות, ואילו עבור g2 יש התכנסות. יכולנו לחזות זאת מבעוד מועד אילו חישבנו את ערכי הנגזרות שלהן.


נבדוק כעת את הפונקציה . קל לראות ש- . נבחר את הפונקציות הבאות:

נחסוך את הצגת האיטרציות ונציג את התוצאות הסופיות:

x0
9.9 α2 α1
0.10001 α2 α1
10.1 α2 התבדרות!

נשים לב כי מתכנס לשורש אחד בלבד, אבל זה לא מפתיע כי בבניית הוצאנו שורש ובחרנו רק את הפתרון החיובי.

מסקנות[עריכה]

  1. שיטה איטרטיבית עלולה להתכנס לשורש אחד בלבד.
  2. השורש אליו שיטה איטרטיבית מתכנסת עלול להיות תלוי בניחוש ההתחלתי.
  3. שיטה איטרטיבית תתכנס או תתבדר, בהתאם לבחירת .

שיטת קירובים עוקבים משופרת[עריכה]

כזכור, סדרת הקירובים התקבלה על ידי . ניתן להסתכל על קשר זה באופן אחר: כל נקודה מתקבלת על ידי הנקודה הקודמת xn, בתוספת , כלומר: , כאשר . עד כאן השיטה המוכרת. כעת, על מנת לשפר את קצב ההתכנסות, נוכל לנסות לקחת "תוספת" גדולה יותר לנקודה הקודמת, כך: , כאשר θ>1. אנו לא יודעים איזה θ לקחת, אך אנו יודעים כי הערך הטוב ביותר עבור θ יניב: .

נניח ואנו עומדים על נקודה xn, ורוצים לחשב את θ האופטימלי. נסמן: . ניתן להראות משיקולים גיאומטריים ש-θ האופטימלי הוא .

יתרה מזאת: אם נבחר , נקבל , או , כאשר . זוהי בדיוק שיטת ניוטון-רפסון אשר תכוסה בפרק הבא.

על מנת שהשיטה תתכנס נדרוש . כאן עלולים לתהות מדוע בודקים את התנאי על ולא על . הסיבה היא שכעת הפונקציה שמקשרת בין x לבין f היא . אם כן, נמשיך:

נשים לב כי α הוא פתרון עבור g(x)=x לכן שיטה זו תתכנס בתנאים הבאים:

  1. x0 קרוב ל-α, כדי שיתקיים .
  2. לא גדול, על מנת שהמונה לא יגרום לחריגה מ-1.
  3. מספיק רחוק מ-1 כדי שהמכנה ילך לאינסוף.

שיטת המשיק הקבוע[עריכה]

שיטת המשיק הקבוע

בשיטת המשיק הקבוע מוצאים את את המשיק לפונקציה בנקודת הניחוש ההתחלתי, מחשבים את חיתוכו עם ציר x ואת ערך הפונקציה בנקודה זו, ודרך הנקודה הזאת מעבירים שוב את אותו משיק, עד אשר מגיעים לשורש.

אם הניחוש ההתחלתי הוא , שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא , ועל ידי חישוב השיפוע באמצעות שיקולים גאומטריים נמצא את סדרת הקירובים:

נשים לב ששיטה זו כושלת כאשר .


הפרק הקודם:
מבוא לשיטות איטרטיביות
שיטות איטרטיביות פשוטות מסדר ראשון הפרק הבא:
שיטת ניוטון-רפסון