אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

נעבוד עם המקטעים . נתרכז במציאת פתרון לבעיה , עם תנאי ההתחלה .

מכאן והלאה, הסימול יציין הערך האנליטי המדוייק של הפונקציה בנקודה xi, ואילו יציין את הערך המקורב שחושב באמצעות השיטה. שימו לב כי במקרים מיוחדים יתכן שהערכים זהים, כלומר: לפעמים .

פתרון באמצעות טור טיילור[עריכה]

השיטה מתבססת על פיתוח לטור טיילור של ערכי הפונקציה סביב הנקודות , נקודה אחר נקודה, כך שבכל צעד משתמשים בתוצאה הקודמת. שיטה כזו נקראת שיטה "חד-צעדית" (בהמשך נעסוק גם בשיטות רב-צעדיות).

לשם כך נפתח תחילה את הפונקציה לטור טיילור סביב x0:

השלב הבא הוא לחשב את y2 באמצעות הערך שהתקבל עבור y1, ובאופן כללי:

שימו לב כי רק y0 הוא ערך מדוייק, כי ערכי yi עבור i>0 התקבלו באמצעות חישוב מקורב. המטרה היא, אם כן, להקטין ככל הניתן את ההפרש .

על מנת למצוא קירוב נומרי, נשתמש, לשם הדגמה, בשלושת האיברים הראשונים של הטור. נמצא את ערכי המקדמים עבור y1:

(נתון)
(כלל השרשרת)

שימו לב כי ערכו של הביטוי שהתקבל באמצעות כלל השרשרת הינו ידוע ב-x0. בדרך זו ממשיכים ומוצאים את ערכי y2, y3...

ככל שרוצים לקבל דיוק רב יותר, יש צורך לחשב נגזרות מסדר גבוה יותר, ולפעמים הדבר בלתי אפשרי.

פתרון בשיטת אוילר[עריכה]

Blue think.svg פתרון מד"ר (אוילר):

שיטת אוילר היא פתרון באמצעות טור טיילור, כאשר לוקחים שני איברים ראשונים בלבד, דבר אשר חוסך חישוב נגזרות על חשבון פגיעה בדיוק הפתרון:

כאמור, בשיטה זו הדיוק אינו רב אך יתרה מזאת, השיטה לעתים קרובות לא יציבה מכיוון שעבור פתרונות שאינם די מתונים, שגיאות קטנות מוגברות ככל שמתקדמים ב-x.

כפי שנראה בהמשך, שיטת אוילר היא שיטת רונגה-קוטה מסדר ראשון.

קישורים חיצוניים[עריכה]

-

פתרון בשיטות רונגה-קוטה[עריכה]

אלו הן קבוצה של שיטות רבות אשר נבדלות זו מזו בכמות החישובים שיש לבצע, ולכן גם בדיוק. שיטות אלה שימושיות במיוחד, עקב נוחיותן בכך שאינן מצריכות חישוב כל נגזרת של הפונקציה המדוברת, אלא רק חישוב ערכי הפונקציה עצמה.

כפי שראינו, לפי טור טיילור:

נשתמש בשיטה הבאה, אשר מזכירה מעט את משפט לגראנז':

ואת הקבועים נמצא על ידי השוואת מקדמים. לשם כך נפתח את השיטה לטור טיילור סביב :

מאחר ויש לנו 4 נעלמים ורק 3 משוואות, נקבע אחד מהם שרירותית וזאת תהיה המשוואה הרביעית. עבור נקבל את שיטת Heun, ועבור נקבל את שיטת improved polygon.

הצורה הכללית של שיטה מסדר 2[עריכה]

אם נסמן נקבל את הצורה הכללית של שיטת רונגה קוטה מסדר שני:

ואז שיטת Heun תתקבל עבור ושיטת improved polygon עבור .

שיטת Heun (שיטה מסדר 2)[עריכה]

שיטה זו נקראת גם "שיטת אוילר המשופרת" (improved Euler method). מבחינה גאומטרית, היא משתמשת בממוצע השיפועים בשתי נקודות סמוכות המתקבלות משיטת אוילר. שימו לב כי: רק בשיטת אוילר, ואילו כאן אלו שתי נקודות שונות. כאן, הנקודה מתקבלת מחיתוך הקו הישר היוצא מנקודה וששיפועו הוא הממוצע הנ"ל, עם הישר .


Blue think.svg שיטת Heun:



נקח ואז , כך שהשיטה המתקבלת היא:

את הביטוי האחרון נהוג לבטא במקדמים באופן הבא:

(כאשר בשיטות מסדר גבוה יותר המקדמים מייצגים ביטויים מורכבים יותר)

שיטת improved polygon (שיטה מסדר 2)[עריכה]

שיטה זו נקראת גם modified Euler method. בניגוד לשיטת Heun, במקום לקחת את ממוצע השיפועים של שתי נקודות, ניקח את השיפוע של נקודת האמצע.

במקרה זה נקח ואז , כך שהשיטה המתקבלת היא:

שיקולי דיוק[עריכה]

שני שיקולים ינחו אותנו בעת בחירת מרווח האינטגרציה h:

  • בהתאם לגודל האופייני של הבעיה הפיזיקלית נחליט בכמה סדרי גודל על h להיות קטן יותר.
  • ערכו של h יכול להשתנות מנקודה לנקודה בהתאם להתנהגות הפונקציה. אם אין גרדיאנטים חריפים מנקודה לנקדוה, ניתן לקחת מרווחים גדולים יותר בלי לפגוע משמעותית בדיוק, כך ש- , כאשר c הוא קבוע פרופורציה כלשהו.

אבחנות[עריכה]

  • בעוד ששיטת אוילר מחשבת את הערך הבא באמצעות השיפוע בערך הנוכחי, שיטות רונגה-קוטה משתמשות במידע נוסף.
  • בשיטות רונגה קוטה מסדר שני אנו מגיעים לדיוק מסדר באמצעות חישוב ערך הפונקציה f בשתי נקודות בלבד, לעומת שיטת טור-טיילור בה נדרשים שלושה חישובים:

שיטת רונגה-קוטה מסדר 4[עריכה]

בשיטה זו לוקחים

שיטת Dormand-Prince[עריכה]

בשיטה זו לוקחים

קישורים חיצוניים[עריכה]

  • הסברים על שיטת Heun באתר אוניברסיטת קוריאה.

שיטות רב-צעדיות[עריכה]

שיטות אלה, בניגוד לנ"ל, משתמשות במספר נקודות קודמות. נפתח את בסיס השיטה:

נשאר, אם כן, לפתור את האינטגרל . לשם כך נבצע החלפת משתנים: כך שערכי f המתקבלים בין xi,xi+1 ניתנים לתיאור על ידי: ולכן האינטגרל מקבל את הצורה:

כך שככל שנקח יותר איברים, נקבל ביטוי התלוי ביותר נקודות קודמות. שימו לב כי השתמשנו באופרטור הפרשים אחוריים על מנת לקבל תלות בנקודות הקודמות.


Blue think.svg שיטה רב-צעדית:

שימו לב כי אם ניקח איבר בודד, נקבל את שיטת אוילר.

הערה: אחד המאפיינים של שיטות רב-צעדיות הוא שאינן מאתחלות את עצמן (not self-starting), כלומר יש לספק עבורן מספר תנאי התחלה באמצעות שיטות חד-צעדיות בעלות אותו מרווח h.

שיטת Adams-Bashforth[עריכה]

נפתח את 4 האיברים הראשונים שציינו לעיל:

  • שימו לב כי לשיטה זו יש לספק 3 תנאי התחלה, אשר בדרך כלל מוצאים אותם בשיטת רונגה-קוטה או בשיטת אוילר. כמו כן, על אותה שיטה להשתמש באותו מרווח h.
  • נשווה שיטה זו לשיטת רונגה-קוטה מסדר 4, מבחינת מספר פעולות החישוב: , כלומר שיטת רונגה-קוטה איטית פי 4.
  • על מנת להשתמש בשיטה זו עבור מערכת מד"ר, נחליף את הכתיב הסקלרי בכתיב הוקטורי:

שיטת Adams[עריכה]

שיטת אדאמס היא מהצורה:

נמצא את הביטוי לשגיאה באמצעות פיתוח האגפים לטור טיילור והשוואת מקדמים:


שיטת Cowell-Numerov[עריכה]

שיטה זו היא עבור מד"ר מסדר 2, כאשר f אינה פונקציה של אלא של , ותנאי ההתחלה נתונים ב-x=0.

שימו לב כי זוהי שיטה סתומה מאחר ו- תלוי ב-f, אשר תלוי ב-.

שיטות נוספות[עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכה]

שיטות מסוג מעריך-מתקן[עריכה]

שיטות מעריך-מתקן (Predictor-Corrector Methods) מתבססות על פתרון האינטגרל על , או: . השלב הבא הוא להשתמש בנוסחה מקורבת לאינטגרל על מנת להתקדם לנקודה הבאה (זכרו כי ).

  • אם נשתמש בשיטת המלבן להערכת האינטגרל, נקבל:
שימו לב כי כל הפרמטרים ידועים, פרט ל-yi+1, שאותו אנו מחפשים.
  • אם, לעומת זאת, נשתמש בשיטת הטרפז, נקבל:
שימו לב כי קיבלנו קשר סתום עבור yi+1, וכביכול אין באפשרותנו להמשיך.

כאן, ובכלל, במקרים בהם יש צורך להשתמש בערכים שאינם קיימים עדיין לרשותנו, נכנסת לתמונה שיטת המעריך-מתקן.

כללית, כל שיטת מעריך-מתקן מורכבת משני שלבים:

  1. מעריך: בוחרים בשיטה כלשהי אשר מאפשרת חישוב ישיר של yi+1.
  2. מתקן איטרטיבי: מציבים את המעריך לתוך השיטה הסתומה.

אם נבחר בשיטה כלשהי על מנת להעריך את ערכו של yi+1, כמו למשל בשיטת המלבן, נוכל להציב איטרטיבית את התוצאה בשיטת הטרפז. שיטת הטרפז תניב ערך מתוקן אשר קרוב יותר לאמיתי. ניתן להפעיל שוב את השלב האיטרטיבי, אולם לא נהוג להפעילה יותר מפעמיים. אם נדרש דיוק רב יותר, ניתן להקטין את המרווח h, ואף ניתן לעשות זאת בכל איטרציה, אך במקרה זה יש לבצע מחדש את שלב המעריך.

שיקולי התכנסות[עריכה]

ניתן לראות בביטוי הסתום עבור yi+1 מעין שיטה איטרטיבית (נסמן ): (כל שאר הפרמטרים ידועים). וכזכור, התנאי להתכנסות (מסדר 1) הוא . לדוגמה: עבור שיטת הטרפז:

ואז ההתכנסות מובטחת. על מנת להבטיח התכנסות מהירה, יש לדאוג לכך ש- .

מקרים פרטיים[עריכה]

Adams-Bashforth:

שיטה זו היא למעשה קירוב של פולינום לגראנז' המתקבל על ידי ארבע נקודות. ניתן לאמר שהמעריך הוא:

והמתקן יתקבל באמצעות הנקודה החדשה ושלוש הנקודות הקודמות לה:

קישורים חיצוניים[עריכה]

יציבות של שיטות לפתרון מד"ר[עריכה]

יציבות תלויה במד"ר אותה רוצים לפתור. מניחים כי הפתרון מתנהג כמו משוואת ההפרשים: . כאשר נציב ביטוי זה () לשיטה, נקבל משוואה עבור σ אשר תלויה ב- הנידון. בדרך כלל נקבל שני פתרונות עבור σ, כאשר לאחד נקרא אנליטי () - והוא מבטא את הפתרון למשוואה - ולשני פרזיטי () - אשר מבטא את השגיאה הנרכשת בכל איטרציה ושאינה קשורה לפתרון האמיתי. התנאים ליציבות הם:

ותחום היציבות נקבע על פי קבוצת החיתוך של שני התנאים וכאשר אין חיתוך - אין יציבות.

הפתרון הכללי הוא מהצורה:

מאחר ו-σ תלוי ב-h, נשתמש בקשר ונשאיף את n לאינסוף על מנת לקבל את הפתרון:


הפרק הקודם:
פתרון מערכת משוואות לינאריות
פתרון משוואות דיפרנציאליות הפרק הבא:
פתרון מערכת משוואות דיפרנציאליות