כיתוב תמונה כרגיל, תחום האינטגרציה מחולק למלבנים אשר יש לחשב את שטחם. אם מסכמים n מלבנים, נגדיר את הפעולה הבאה:
I
n
f
(
x
)
=
∫
x
x
+
n
h
f
(
t
)
d
t
,
n
∈
N
{\displaystyle I_{n}f(x)=\int \limits _{x}^{x+nh}f(t)dt\quad ,\quad n\in \mathbb {N} }
עלינו למצוא קשר אופרטורי בין
I
n
{\displaystyle \ I_{n}}
D
I
n
f
(
x
)
=
∫
x
x
+
n
h
D
f
(
t
)
d
t
=
∫
x
x
+
n
h
d
f
d
t
d
t
=
f
(
x
+
n
h
)
−
f
(
x
)
=
(
E
n
−
1
)
f
(
x
)
⇒
I
n
f
(
x
)
=
D
−
1
(
E
n
−
1
)
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}DI_{n}f(x)&=\int \limits _{x}^{x+nh}Df(t)dt=\int \limits _{x}^{x+nh}{\frac {df}{dt}}dt=f(x+nh)-f(x)=(E^{n}-1)f(x)\\&\Rightarrow I_{n}f(x)=D^{-1}(E^{n}-1)f(x)\end{aligned}}}
[ עריכה ]
I
n
f
(
x
)
=
h
ln
(
1
+
Δ
)
[
(
1
+
Δ
)
n
−
1
]
f
(
x
)
{\displaystyle I_{n}f(x)={\frac {h}{\ln(1+\Delta )}}{\bigl [}(1+\Delta )^{n}-1{\bigr ]}f(x)}
ההמשך הוא לפתח לטור טיילור ולקחת מקדמים ראשונים כקירוב. הטור של הכופל הימני הוא:
(
1
+
Δ
)
n
−
1
=
1
+
n
Δ
+
n
(
n
−
1
)
2
Δ
2
+
⋯
−
1
{\displaystyle (1+\Delta )^{n}-1=1+n\Delta +{\frac {n(n-1)}{2}}\Delta ^{2}+\cdots -1}
מאחר ואיננו יודעים את הטור של הכופל השמאלי, נשתמש בקשר
1
ln
(
1
+
Δ
)
ln
(
1
+
Δ
)
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{\ln(1+\Delta )}}\ln(1+\Delta )=1}
1
ln
(
1
+
Δ
)
=
a
0
Δ
+
a
1
+
a
2
Δ
+
a
3
Δ
2
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{\ln(1+\Delta )}}={\frac {a_{0}}{\Delta }}+a_{1}+a_{2}\Delta +a_{3}\Delta ^{2}+\cdots }
נבצע השוואת מקדמים של החזקות של
Δ
{\displaystyle \Delta }
(
a
0
Δ
+
a
1
+
a
2
Δ
+
a
3
Δ
2
+
⋯
)
(
Δ
−
Δ
2
2
+
Δ
3
3
−
⋯
)
=
1
⇒
1
ln
(
1
+
Δ
)
=
1
Δ
+
1
2
−
Δ
12
+
Δ
2
24
−
19
720
Δ
3
+
⋯
⇒
I
n
f
(
x
)
=
h
(
1
Δ
+
1
2
−
Δ
12
+
⋯
)
[
n
Δ
+
n
(
n
−
1
)
2
Δ
2
+
⋯
]
f
(
x
)
⇒
∫
x
x
+
n
h
f
(
t
)
d
t
=
n
h
[
1
+
n
2
Δ
+
n
(
2
n
−
3
)
12
Δ
2
+
n
(
n
−
2
)
2
24
Δ
3
+
n
(
6
n
3
−
45
n
2
+
110
n
−
90
)
720
Δ
4
+
⋯
]
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {a_{0}}{\Delta }}+a_{1}+a_{2}\Delta +a_{3}\Delta ^{2}+\cdots \right)\left(\Delta -{\frac {\Delta ^{2}}{2}}+{\frac {\Delta ^{3}}{3}}-\cdots \right)=1\\&\Rightarrow \quad {\frac {1}{\ln(1+\Delta )}}={\frac {1}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}-{\frac {\Delta }{12}}+{\frac {\Delta ^{2}}{24}}-{\frac {19}{720}}\Delta ^{3}+\cdots \\&\Rightarrow \quad I_{n}f(x)=h\left({\frac {1}{\Delta }}+{\dfrac {1}{2}}-{\frac {\Delta }{12}}+\cdots \right)\left[n\Delta +{\frac {n(n-1)}{2}}\Delta ^{2}+\cdots \right]f(x)\\&\Rightarrow \quad \int \limits _{x}^{x+nh}f(t)dt=nh\left[1+{\frac {n}{2}}\Delta +{\frac {n(2n-3)}{12}}\Delta ^{2}+{\frac {n(n-2)^{2}}{24}}\Delta ^{3}+{\frac {n(6n^{3}-45n^{2}+110n-90)}{720}}\Delta ^{4}+\cdots \right]f(x)\end{aligned}}}
נשים לב כי באפשרותנו כעת לקבוע שני פרמטרים (קיימות שתי דרגות חופש) – הן מספר המלבנים בחלוקה והן מספר האיברים בטור להתחשב בהם (
h
,
n
{\displaystyle h,n}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
O
(
h
5
)
{\displaystyle O(h^{5})}
[ עריכה ] כרגיל, נבטא את השגיאה באמצעות משפט לגראנז' ונסמנה בסוגריים מסולסלים:
I
1
f
(
x
)
=
∫
x
x
+
h
f
(
x
)
d
x
=
h
(
1
+
Δ
2
−
Δ
2
12
+
⋯
)
f
(
x
)
≈
h
f
(
x
)
+
{
h
2
2
f
′
(
c
)
}
{\displaystyle I_{1}f(x)=\int \limits _{x}^{x+h}f(x)dx=h\left(1+{\frac {\Delta }{2}}-{\frac {\Delta ^{2}}{12}}+\cdots \right)f(x)\approx hf(x)+\left\{{\frac {h^{2}}{2}}f'(c)\right\}}
המשמעות הגאומטרית היא מלבן אחד הנלקח לפי הנקודה השמאלית. אם הפונקציה מונוטונית עולה – זהו סכום תחתון, ואם היא מונוטונית יורדת – סכום עליון.
[ עריכה ]
I
1
f
(
x
)
=
h
f
(
x
)
+
h
Δ
f
(
x
)
2
+
{
−
h
3
12
f
″
(
c
)
}
=
[
h
f
(
x
)
+
h
2
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
]
]
+
{
−
h
3
12
f
″
(
c
)
}
=
h
2
[
f
(
x
)
+
f
(
x
+
h
)
]
+
{
−
h
3
12
f
″
(
c
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}f(x)&=hf(x)+{\frac {h\Delta f(x)}{2}}+\left\{-{\frac {h^{3}}{12}}f''(c)\right\}\\&=\left[hf(x)+{\frac {h}{2}}{\bigl [}f(x+h)-f(x){\bigr ]}\right]+\left\{-{\frac {h^{3}}{12}}f''(c)\right\}\\&={\frac {h}{2}}{\bigl [}f(x)+f(x+h){\bigr ]}+\left\{-{\frac {h^{3}}{12}}f''(c)\right\}\end{aligned}}}
נשים לב כי
h
{\displaystyle h}
קירוב זה נקרא קירוב טרפזי לאינטגרל ומסומן, במקרה הכללי, על ידי:
I
n
=
T
^
(
h
)
=
∑
i
=
1
n
h
2
[
f
(
x
i
−
h
)
+
f
(
x
i
)
]
{\displaystyle I_{n}={\hat {T}}(h)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {h}{2}}{\bigl [}f(x_{i}-h)+f(x_{i}){\bigr ]}}
ניתן להראות כי ההתכנסות היא ריבועית, כלומר
T
^
(
h
)
−
I
n
=
O
(
h
2
)
=
O
(
1
n
2
)
{\displaystyle {\hat {T}}(h)-I_{n}=O(h^{2})=O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}
נתבונן בשיטת אינטגרציה המבוססת על שיטת הטרפז:
∫
0
h
f
(
x
)
d
x
=
h
[
A
f
(
0
)
+
B
f
(
θ
h
)
]
+
R
,
0
<
θ
<
1
{\displaystyle \int \limits _{0}^{h}f(x)dx=h{\bigl [}Af(0)+Bf(\theta h){\bigr ]}+R\ ,\ 0<\theta <1}
שימו לב כי
θ
{\displaystyle \theta }
ננסה למצוא את הקבועים כפונקציה של
θ
{\displaystyle \theta }
LHS
:
∫
0
h
(
f
(
0
)
+
x
f
′
(
0
)
+
x
2
2
!
f
″
(
0
)
+
⋯
)
d
x
=
(
x
f
(
0
)
+
x
2
2
!
f
′
(
0
)
+
x
3
3
!
f
″
(
0
)
+
⋯
)
|
0
h
=
h
f
(
0
)
+
h
2
2
!
f
′
(
0
)
+
h
3
3
!
f
″
(
0
)
+
⋯
RHS
:
h
A
f
(
0
)
+
h
B
[
f
(
0
)
+
θ
h
f
′
(
0
)
+
(
θ
h
)
2
2
!
f
″
(
0
)
+
(
θ
h
)
3
3
!
f
‴
(
0
)
+
⋯
]
+
R
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{LHS}}:&\quad \int \limits _{0}^{h}\left(f(0)+xf'(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f''(0)+\cdots \right)dx=\left(xf(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f'(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}f''(0)+\cdots \right){\Bigg |}_{0}^{h}=hf(0)+{\frac {h^{2}}{2!}}f'(0)+{\frac {h^{3}}{3!}}f''(0)+\cdots \\{\text{RHS}}:&\quad hAf(0)+hB\left[f(0)+\theta hf'(0)+{\frac {(\theta h)^{2}}{2!}}f''(0)+{\frac {(\theta h)^{3}}{3!}}f'''(0)+\cdots \right]+R\end{aligned}}}
מהשוואת מקדמים של f',f נקבל:
A
=
1
−
1
2
θ
,
B
=
1
2
θ
{\displaystyle A=1-{\tfrac {1}{2\theta }},\ B={\tfrac {1}{2\theta }}}
∫
0
h
f
(
x
)
d
x
=
h
[
(
1
−
1
2
p
)
f
(
0
)
+
1
2
p
f
(
θ
h
)
]
+
R
{\displaystyle \int \limits _{0}^{h}f(x)dx=h\left[\left(1-{\tfrac {1}{2p}}\right)f(0)+{\tfrac {1}{2p}}f(\theta h)\right]+R}
מאחר ומצאנו ערכיהם של שני הקבועים A,B, למעשה קטענו את הטור טיילור של האניטגרל החל מהאיבר השלישי. לכן הביטוי לשארית (שגיאה) של אגף שמאל (באמצעות משפט לגראנז') הוא:
R
L
H
S
=
h
3
3
!
f
″
(
c
)
{\displaystyle \ R_{LHS}={\tfrac {h^{3}}{3!}}f''(c)}
R
R
H
S
=
h
B
[
(
θ
h
)
3
3
!
f
‴
(
c
)
]
{\displaystyle \ R_{RHS}=hB\left[{\tfrac {(\theta h)^{3}}{3!}}f'''(c)\right]}
R
=
R
L
H
S
−
R
R
H
S
=
h
3
3
!
f
″
(
c
)
−
h
B
[
(
θ
h
)
3
3
!
f
‴
(
c
)
]
=
h
3
12
(
2
−
3
θ
)
f
″
(
c
)
{\displaystyle \ R=R_{LHS}-R_{RHS}={\tfrac {h^{3}}{3!}}f''(c)-hB\left[{\tfrac {(\theta h)^{3}}{3!}}f'''(c)\right]={\tfrac {h^{3}}{12}}(2-3\theta )f''(c)}
כלומר השיטה היא מסדר שני, ועבור
θ
=
2
3
{\displaystyle \ \theta ={\tfrac {2}{3}}}
1
4
,
3
4
{\displaystyle \ {\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}}}
נניח כי חילקנו את תחום האינטגרציה ל-N מלבנים בעלי רוחב h כל אחד. נחשב את האינטגרל המתאים לפי שיטת הטרפז:
I
=
∫
0
N
h
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
h
f
(
x
)
d
x
+
∫
h
2
h
f
(
x
)
d
x
+
∫
2
h
3
h
f
(
x
)
d
x
+
.
.
.
+
∫
(
N
−
1
)
h
N
h
f
(
x
)
d
x
≈
{\displaystyle \ I=\int \limits _{0}^{Nh}f(x)dx=\int \limits _{0}^{h}f(x)dx+\int \limits _{h}^{2h}f(x)dx+\int \limits _{2h}^{3h}f(x)dx+...+\int \limits _{(N-1)h}^{Nh}f(x)dx\approx }
≈
h
2
[
f
(
0
)
+
f
(
h
)
]
+
h
2
[
f
(
h
)
+
f
(
2
h
)
]
+
h
2
[
f
(
2
h
)
+
f
(
3
h
)
]
+
.
.
.
+
h
2
[
f
(
(
N
−
1
)
h
)
+
f
(
N
h
)
]
{\displaystyle \ \approx {h \over 2}[f(0)+f(h)]+{h \over 2}[f(h)+f(2h)]+{h \over 2}[f(2h)+f(3h)]+...+{h \over 2}[f((N-1)h)+f(Nh)]}
נשים לב כי בביטוי הנ"ל, פרט לשתי הנקודות הקיצוניות, מחשבים כל נקודה פעמיים. לכן על מנת לחסוך כמחצית מזמן החישוב, נכתוב ביטוי יעיל יותר:
I
=
h
[
f
(
0
)
+
f
(
N
h
)
2
+
f
(
h
)
+
f
(
2
h
)
+
.
.
.
+
f
(
(
N
−
1
)
h
)
]
{\displaystyle \ I=h\left[{f(0)+f(Nh) \over 2}+f(h)+f(2h)+...+f((N-1)h)\right]}
כאשר נדרש דיוק ε בחישוב האינטגרל, עלינו לבחור ב-h (או לחילופין - N) מתאים.
הצורה הכללית ביותר לבדיקת התכנסות היא אנאלוגית לבדיקת התכנסות של סדרת סכומים חלקיים:
|
I
s
−
I
t
|
<
ϵ
{\displaystyle \ |I_{s}-I_{t}|<\epsilon }
שיטה זו היא מסורבלת ולכן לשם הדיון, נפתח שיטה ישירה אחרת אשר תתייחס לשיטת הטרפז.
I
=
h
2
[
f
(
0
)
+
f
(
h
)
]
+
h
2
[
f
(
h
)
+
f
(
2
h
)
]
+
h
2
[
f
(
2
h
)
+
f
(
3
h
)
]
+
.
.
.
+
h
2
[
f
(
(
N
−
1
)
h
)
+
f
(
N
h
)
]
+
{\displaystyle \ I={h \over 2}[f(0)+f(h)]+{h \over 2}[f(h)+f(2h)]+{h \over 2}[f(2h)+f(3h)]+...+{h \over 2}[f((N-1)h)+f(Nh)]+}
−
{
h
3
12
f
″
(
c
1
)
+
h
3
12
f
″
(
c
2
)
+
.
.
.
+
h
3
12
f
″
(
c
N
)
}
{\displaystyle \ -\left\{{h^{3} \over 12}f''(c_{1})+{h^{3} \over 12}f''(c_{2})+...+{h^{3} \over 12}f''(c_{N})\right\}}
כאשר ci היא השגיאה בכל תת-תחום. השגיאה הכוללת היא:
R
N
=
h
3
12
[
f
″
(
c
1
)
+
f
″
(
c
2
)
+
.
.
.
+
f
″
(
c
N
)
]
{\displaystyle \ R_{N}={h^{3} \over 12}[f''(c_{1})+f''(c_{2})+...+f''(c_{N})]}
לכן נדרוש:
|
R
N
|
≤
h
3
12
[
|
f
″
(
c
1
)
|
+
|
f
″
(
c
2
)
|
+
.
.
.
+
|
f
″
(
c
N
)
|
]
<
ϵ
{\displaystyle \ |R_{N}|\leq {h^{3} \over 12}\left[\left|f''(c_{1})\right|+\left|f''(c_{2})\right|+...+\left|f''(c_{N})\right|\right]<\epsilon }
על מנת לפשט את החישוב נגדיר:
M
=
max
1
≤
i
≤
N
{
|
f
″
(
c
i
)
|
}
{\displaystyle \ M=\max _{1\leq i\leq N}\{|f''(c_{i})|\}}
M
=
max
a
≤
x
≤
b
{
|
f
″
(
x
)
|
}
{\displaystyle \ M=\max _{a\leq x\leq b}\{|f''(x)|\}}
n ולכן גם על h,N בהתאם לביטוי הבא:
|
R
N
|
≤
h
3
12
M
N
<
ϵ
,
N
=
b
−
a
h
⇒
h
<
12
ϵ
M
(
b
−
a
)
,
N
>
M
(
b
−
a
)
3
12
ϵ
{\displaystyle \ |R_{N}|\leq {h^{3} \over 12}MN<\epsilon ,\quad N={b-a \over h}\quad \Rightarrow \quad h<{\sqrt {12\epsilon \over M(b-a)}}\ ,\quad N>{\sqrt {M(b-a)^{3} \over 12\epsilon }}}
מקרים פרטיים:
אם f מונוטונית עולה אז גם
f
″
{\displaystyle \ f''}
M
=
|
f
″
(
b
)
|
{\displaystyle \ M=|f''(b)|}
אם f מונוטונית יורדת אז גם
f
″
{\displaystyle \ f''}
M
=
|
f
″
(
a
)
|
{\displaystyle \ M=|f''(a)|}
במקרה אחר (כללי) נמצא את M על ידי חישוב
|
f
‴
(
x
)
|
=
0
{\displaystyle \ |f'''(x)|=0}
חוק ריצ'רדסון לאקסטרפולציה .
כאן מחשבים את ערך האינטרל לפי מלבן ברוחב h ולפי מלבן ברוחב h/2, ולפי השגיאה המתקבלת מחליטים אם לקחת h קטן יותר.
ערך האינטגרל לפי h:
I
¯
(
h
)
I
=
h
2
[
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
]
⏞
+
{
−
h
3
12
f
″
(
c
)
}
{\displaystyle \ {\begin{matrix}\ &{\bar {I}}(h)&\ \\I=&\overbrace {{h \over 2}[f(x_{0})+f(x_{1})]} &+\left\{-{h^{3} \over 12}f''(c)\right\}\end{matrix}}}
ערך האינטגרל לפי h/2:
I
¯
(
h
2
)
I
=
h
/
2
2
[
(
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
2
)
)
+
(
f
(
x
1
2
)
+
f
(
x
1
)
)
]
⏞
+
{
−
(
h
/
2
)
3
12
[
f
″
(
c
1
)
+
f
″
(
c
2
)
]
}
{\displaystyle \ {\begin{matrix}\ &{\bar {I}}({h \over 2})&\ \\I=&\overbrace {{h/2 \over 2}[(f(x_{0})+f(x_{1 \over 2}))+(f(x_{1 \over 2})+f(x_{1}))]} &+\left\{-{(h/2)^{3} \over 12}[f''(c_{1})+f''(c_{2})]\right\}\end{matrix}}}
לשם פשטות, נניח כי הנגזרת השניה קבועה, ואז:
k
=
f
″
(
c
)
=
f
″
(
c
1
)
=
f
″
(
c
2
)
{\displaystyle \ k=f''(c)=f''(c_{1})=f''(c_{2})}
{
I
=
I
¯
(
h
)
−
h
3
12
k
I
=
I
¯
(
h
2
)
−
(
h
/
2
)
3
12
2
k
{\displaystyle \ \left\{{\begin{array}{lcl}I&=&{\bar {I}}(h)-{h^{3} \over 12}k\\I&=&{\bar {I}}({h \over 2})-{(h/2)^{3} \over 12}2k\end{array}}\right.}
כאשר נפתור את המשוואות, נקבל את ערכם של k,I, ולכן נידע גם מהי השגיאה שהתקבלה בחישוב. מכאן נחליט אם הדיוק משביע רצון, אחרת ניתן לבחור h אחר. נפתור עבור מקרה כללי:
{
I
=
I
¯
(
h
)
+
k
^
h
R
I
=
I
¯
(
h
2
)
+
2
k
^
(
h
2
)
R
⇒
I
=
2
R
−
1
I
¯
(
h
2
)
−
I
¯
(
h
)
2
R
−
1
−
1
{\displaystyle \ \left\{{\begin{array}{lcl}I&=&{\bar {I}}(h)+{\hat {k}}h^{R}\\I&=&{\bar {I}}({h \over 2})+2{\hat {k}}\left({h \over 2}\right)^{R}\end{array}}\right.\quad \Rightarrow \quad I={\frac {2^{R-1}{\bar {I}}\left({h \over 2}\right)-{\bar {I}}(h)}{2^{R-1}-1}}}
I
2
f
(
x
)
=
∫
x
x
+
2
h
f
(
x
)
d
x
=
2
h
[
1
+
Δ
+
1
6
Δ
2
+
0
−
1
180
Δ
4
+
.
.
.
]
f
(
x
)
{\displaystyle \ I_{2}f(x)=\int \limits _{x}^{x+2h}f(x)dx=2h\left[1+\Delta +{1 \over 6}\Delta ^{2}+0-{1 \over 180}\Delta ^{4}+...\right]f(x)}
[ עריכה ]
I
2
f
(
x
)
=
2
h
f
(
x
)
+
{
2
h
2
f
′
(
c
)
}
{\displaystyle I_{2}f(x)=2hf(x)+\left\{2h^{2}f'(c)\right\}}
קירוב זה משתמש בשתי נקודות. זהו קירוב גס, מכיוון שלוקחים מלבן אחד לאורך של שתי נקודות, אשר גובהו נקבע לפי הנקודה הראשונה.
[ עריכה ] קירוב זה משתמש בשלוש נקודות, כאשר הנקודה האמצעית קובעת את גובה המלבן, אשר נפרש לאורך שלושת הנקודות.
I
2
f
(
x
)
=
[
2
h
f
(
x
)
+
2
h
Δ
f
(
x
)
]
+
{
1
3
h
3
f
″
(
c
)
}
=
2
h
f
(
x
+
h
)
+
{
1
3
h
3
f
″
(
c
)
}
{\displaystyle \ I_{2}f(x)=[2hf(x)+2h\Delta f(x)]+\left\{{1 \over 3}h^{3}f''(c)\right\}=2hf(x+h)+\left\{{1 \over 3}h^{3}f''(c)\right\}}
[ עריכה ]
I
2
f
(
x
)
=
2
h
[
1
+
Δ
+
1
6
Δ
2
]
f
(
x
)
+
{
−
h
5
90
f
(
4
)
(
c
)
}
=
{\displaystyle \ I_{2}f(x)=2h\left[1+\Delta +{1 \over 6}\Delta ^{2}\right]f(x)+\left\{-{h^{5} \over 90}f^{(4)}(c)\right\}=}
2
h
1
6
[
f
(
x
)
+
4
f
(
x
+
h
)
+
f
(
x
+
2
h
)
]
+
{
−
1
90
h
5
f
(
4
)
(
c
)
}
{\displaystyle \ 2h{1 \over 6}[f(x)+4f(x+h)+f(x+2h)]+\left\{-{1 \over 90}h^{5}f^{(4)}(c)\right\}}
לפי הביטויים שקיבלנו אפשר לראות כי ניתן להשתמש בשיטה רק כאשר יש לנו מספר זוגי של מלבנים.
נשים לב כי 2h הוא אורך תחום האינטגרל, אשר כופל סכום משוקלל של ערכי הפונקציה בתחום, וסכום המשקלים הוא 1. במקרה זה משתמשים ב-3 נקודות במשקלים
1
6
,
4
6
,
1
6
{\displaystyle \ {\tfrac {1}{6}},{\tfrac {4}{6}},{\tfrac {1}{6}}}
שיקולי דיוק: גם כאן ניתן להפעיל את הכללים שראינו עבור n=1.
![{\displaystyle I_{n}f(x)={\frac {h}{\ln(1+\Delta )}}{\bigl [}(1+\Delta )^{n}-1{\bigr ]}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29212cd8019e5076bba5d554d92aad45ae65c9bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {a_{0}}{\Delta }}+a_{1}+a_{2}\Delta +a_{3}\Delta ^{2}+\cdots \right)\left(\Delta -{\frac {\Delta ^{2}}{2}}+{\frac {\Delta ^{3}}{3}}-\cdots \right)=1\\&\Rightarrow \quad {\frac {1}{\ln(1+\Delta )}}={\frac {1}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}-{\frac {\Delta }{12}}+{\frac {\Delta ^{2}}{24}}-{\frac {19}{720}}\Delta ^{3}+\cdots \\&\Rightarrow \quad I_{n}f(x)=h\left({\frac {1}{\Delta }}+{\dfrac {1}{2}}-{\frac {\Delta }{12}}+\cdots \right)\left[n\Delta +{\frac {n(n-1)}{2}}\Delta ^{2}+\cdots \right]f(x)\\&\Rightarrow \quad \int \limits _{x}^{x+nh}f(t)dt=nh\left[1+{\frac {n}{2}}\Delta +{\frac {n(2n-3)}{12}}\Delta ^{2}+{\frac {n(n-2)^{2}}{24}}\Delta ^{3}+{\frac {n(6n^{3}-45n^{2}+110n-90)}{720}}\Delta ^{4}+\cdots \right]f(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259eba6c7ea8f9487788bf1fb5375eec172caa4c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}f(x)&=hf(x)+{\frac {h\Delta f(x)}{2}}+\left\{-{\frac {h^{3}}{12}}f''(c)\right\}\\&=\left[hf(x)+{\frac {h}{2}}{\bigl [}f(x+h)-f(x){\bigr ]}\right]+\left\{-{\frac {h^{3}}{12}}f''(c)\right\}\\&={\frac {h}{2}}{\bigl [}f(x)+f(x+h){\bigr ]}+\left\{-{\frac {h^{3}}{12}}f''(c)\right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3b943750385f5bfe70a40a592f34ae28a07f47)
![{\displaystyle I_{n}={\hat {T}}(h)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {h}{2}}{\bigl [}f(x_{i}-h)+f(x_{i}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6929b514f83bccc9588e14f1c1e69f830d574698)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{h}f(x)dx=h{\bigl [}Af(0)+Bf(\theta h){\bigr ]}+R\ ,\ 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6b4df2da7cc03006b5026ca18c9f2c9933cabd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{LHS}}:&\quad \int \limits _{0}^{h}\left(f(0)+xf'(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f''(0)+\cdots \right)dx=\left(xf(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f'(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}f''(0)+\cdots \right){\Bigg |}_{0}^{h}=hf(0)+{\frac {h^{2}}{2!}}f'(0)+{\frac {h^{3}}{3!}}f''(0)+\cdots \\{\text{RHS}}:&\quad hAf(0)+hB\left[f(0)+\theta hf'(0)+{\frac {(\theta h)^{2}}{2!}}f''(0)+{\frac {(\theta h)^{3}}{3!}}f'''(0)+\cdots \right]+R\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5972aab68e2b4010854dc2a65035acb35c5af4b7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{h}f(x)dx=h\left[\left(1-{\tfrac {1}{2p}}\right)f(0)+{\tfrac {1}{2p}}f(\theta h)\right]+R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c2002e08199fddd12e738e2c9494eda973d827)
![{\displaystyle \ R_{RHS}=hB\left[{\tfrac {(\theta h)^{3}}{3!}}f'''(c)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c612b14fffdf12abf75448ea96dd08efeb34e30)
![{\displaystyle \ R=R_{LHS}-R_{RHS}={\tfrac {h^{3}}{3!}}f''(c)-hB\left[{\tfrac {(\theta h)^{3}}{3!}}f'''(c)\right]={\tfrac {h^{3}}{12}}(2-3\theta )f''(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05dd2907d25f72d8b907c7db7ba6be3931eed22e)
![{\displaystyle \ \approx {h \over 2}[f(0)+f(h)]+{h \over 2}[f(h)+f(2h)]+{h \over 2}[f(2h)+f(3h)]+...+{h \over 2}[f((N-1)h)+f(Nh)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d690a62a5f7f56aaedd1333703c24064383048f)
![{\displaystyle \ I=h\left[{f(0)+f(Nh) \over 2}+f(h)+f(2h)+...+f((N-1)h)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfe8ce9dceab6761d674507e1c86095397b535d)
![{\displaystyle \ I={h \over 2}[f(0)+f(h)]+{h \over 2}[f(h)+f(2h)]+{h \over 2}[f(2h)+f(3h)]+...+{h \over 2}[f((N-1)h)+f(Nh)]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af27a93ddb6a51b2623011eacc58268d9ca6197)
![{\displaystyle \ R_{N}={h^{3} \over 12}[f''(c_{1})+f''(c_{2})+...+f''(c_{N})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9984f7c158cf23b7dd3730a742799993b039465)
![{\displaystyle \ |R_{N}|\leq {h^{3} \over 12}\left[\left|f''(c_{1})\right|+\left|f''(c_{2})\right|+...+\left|f''(c_{N})\right|\right]<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaedf1566ccc92a5bd8dbda5795bbf1f2f31a786)
![{\displaystyle \ {\begin{matrix}\ &{\bar {I}}(h)&\ \\I=&\overbrace {{h \over 2}[f(x_{0})+f(x_{1})]} &+\left\{-{h^{3} \over 12}f''(c)\right\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ef0bd4febd823244ec7c1013ebd46a28d8c1ac)
![{\displaystyle \ {\begin{matrix}\ &{\bar {I}}({h \over 2})&\ \\I=&\overbrace {{h/2 \over 2}[(f(x_{0})+f(x_{1 \over 2}))+(f(x_{1 \over 2})+f(x_{1}))]} &+\left\{-{(h/2)^{3} \over 12}[f''(c_{1})+f''(c_{2})]\right\}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34e846fe990c907c0f5d993894c65741eb0dd35)
![{\displaystyle \ I_{2}f(x)=\int \limits _{x}^{x+2h}f(x)dx=2h\left[1+\Delta +{1 \over 6}\Delta ^{2}+0-{1 \over 180}\Delta ^{4}+...\right]f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d1c2287fdf5a9c7725fa737f7e7f23e1f51d07)
![{\displaystyle \ I_{2}f(x)=[2hf(x)+2h\Delta f(x)]+\left\{{1 \over 3}h^{3}f''(c)\right\}=2hf(x+h)+\left\{{1 \over 3}h^{3}f''(c)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59efc9d90524194edc0d7a3bb54e8d7ffe970158)
![{\displaystyle \ I_{2}f(x)=2h\left[1+\Delta +{1 \over 6}\Delta ^{2}\right]f(x)+\left\{-{h^{5} \over 90}f^{(4)}(c)\right\}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70a344b8f7b82cefc7ab1ce82b0cb20c8e71f74)
![{\displaystyle \ 2h{1 \over 6}[f(x)+4f(x+h)+f(x+2h)]+\left\{-{1 \over 90}h^{5}f^{(4)}(c)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6638ed5f5b1a0d2864276b2d983281bd9a3a4b7a)
