אנליזה נומרית/אינטגרציה נומרית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
כיתוב תמונה

כרגיל, תחום האינטגרציה מחולק למלבנים אשר יש לחשב את שטחם. אם מסכמים n מלבנים, נגדיר את הפעולה הבאה:

עלינו למצוא קשר אופרטורי בין לבין האופרטורים שפיתחנו, על מנת לייצג סכום כנ"ל. נבצע לכן את הפעולות הבאות:

אינטגרציה לפי הפרשים קדמיים[עריכה]

ההמשך הוא לפתח לטור טיילור ולקחת מקדמים ראשונים כקירוב. הטור של הכופל הימני הוא:

מאחר ואיננו יודעים את הטור של הכופל השמאלי, נשתמש בקשר , כאשר מניחים שהטור של הכופל השמאלי הוא מהצורה:

נבצע השוואת מקדמים של החזקות של ונקבל:

נשים לב כי באפשרותנו כעת לקבוע שני פרמטרים (קיימות שתי דרגות חופש) – הן מספר המלבנים בחלוקה והן מספר האיברים בטור להתחשב בהם ( תלויים זה בזה). בחירות שונות שלהם יתנו דיוקים שונים. למשל, אם נבחר וניקח 3 איברים, נקבל שגיאה לפי .

n=1[עריכה]

קירוב ראשון: סכום פשוט[עריכה]

LeftRiemann2.png

כרגיל, נבטא את השגיאה באמצעות משפט לגראנז' ונסמנה בסוגריים מסולסלים:

המשמעות הגאומטרית היא מלבן אחד הנלקח לפי הנקודה השמאלית. אם הפונקציה מונוטונית עולה – זהו סכום תחתון, ואם היא מונוטונית יורדת – סכום עליון.

קירוב שני: שיטת הטרפז[עריכה]

Sehnentrapezformel.svg

נשים לב כי הוא אורך תחום האינטגרל, אשר כופל סכום משוקלל (במקרה זה יש שתי נקודות ולכן המשקלים שווים ל־0.5) של ערכי הפונקציה בתחום, וסכום המשקלים הוא 1.

קירוב זה נקרא קירוב טרפזי לאינטגרל ומסומן, במקרה הכללי, על ידי:

ניתן להראות כי ההתכנסות היא ריבועית, כלומר .

שיטת הטרפז: הרחבה[עריכה]

נתבונן בשיטת אינטגרציה המבוססת על שיטת הטרפז:

שימו לב כי קובעת גובה הטרפז, וככל שהיא מתקרבת ל־1 כך שטח הטרפז גדול יותר.

ננסה למצוא את הקבועים כפונקציה של . לשם כך נפתח את את שני האגפים לטור טיילור ונשווה מקדמים:

מהשוואת מקדמים של f',f נקבל: ואז:

מאחר ומצאנו ערכיהם של שני הקבועים A,B, למעשה קטענו את הטור טיילור של האניטגרל החל מהאיבר השלישי. לכן הביטוי לשארית (שגיאה) של אגף שמאל (באמצעות משפט לגראנז') הוא: , ואילו השארית (השגיאה) של הטור באגף ימין הוא: . כעת אם נעביר אגפים על מנת לחלץ את R נקבל:

כלומר השיטה היא מסדר שני, ועבור נקבל שיטה מסדר 3 (במקרה זה יש לבצע הערכת שגיאה מחדש). כלומר אם נקח בחשבון רק שליש מהמרחק בין שתי נקודות עוקבות, ונשקלל את ערכי הפונקציה בשתי הנקודות העוקבות במשקלים נקבל קירוב טוב יותר.

שיקולי יעילות[עריכה]

נניח כי חילקנו את תחום האינטגרציה ל-N מלבנים בעלי רוחב h כל אחד. נחשב את האינטגרל המתאים לפי שיטת הטרפז:

נשים לב כי בביטוי הנ"ל, פרט לשתי הנקודות הקיצוניות, מחשבים כל נקודה פעמיים. לכן על מנת לחסוך כמחצית מזמן החישוב, נכתוב ביטוי יעיל יותר:

שיקולי דיוק[עריכה]

כאשר נדרש דיוק ε בחישוב האינטגרל, עלינו לבחור ב-h (או לחילופין - N) מתאים. הצורה הכללית ביותר לבדיקת התכנסות היא אנאלוגית לבדיקת התכנסות של סדרת סכומים חלקיים:

שיטה זו היא מסורבלת ולכן לשם הדיון, נפתח שיטה ישירה אחרת אשר תתייחס לשיטת הטרפז.

כאשר ci היא השגיאה בכל תת-תחום. השגיאה הכוללת היא:

לכן נדרוש:

על מנת לפשט את החישוב נגדיר: , או לחילופין, כאשר f נתונה והיא אנליטית, ניתן פשוט לקחת את . כך נקבל חסם על Rn ולכן גם על h,N בהתאם לביטוי הבא:

מקרים פרטיים:

  • אם f מונוטונית עולה אז גם מונוטונית עולה ואז .
  • אם f מונוטונית יורדת אז גם מונוטונית יורדת ואז .
  • במקרה אחר (כללי) נמצא את M על ידי חישוב .


דרך אחרת למציאת h המתאים היא חוק ריצ'רדסון לאקסטרפולציה.

כאן מחשבים את ערך האינטרל לפי מלבן ברוחב h ולפי מלבן ברוחב h/2, ולפי השגיאה המתקבלת מחליטים אם לקחת h קטן יותר.

ערך האינטגרל לפי h:

ערך האינטגרל לפי h/2:

לשם פשטות, נניח כי הנגזרת השניה קבועה, ואז: , כך שמתקבלות שתי משוואות בשני נעלמים I, k:

כאשר נפתור את המשוואות, נקבל את ערכם של k,I, ולכן נידע גם מהי השגיאה שהתקבלה בחישוב. מכאן נחליט אם הדיוק משביע רצון, אחרת ניתן לבחור h אחר. נפתור עבור מקרה כללי:

n=2[עריכה]

קירוב ראשון: סכום פשוט[עריכה]

קירוב זה משתמש בשתי נקודות. זהו קירוב גס, מכיוון שלוקחים מלבן אחד לאורך של שתי נקודות, אשר גובהו נקבע לפי הנקודה הראשונה.

קירוב שני: סכום פשוט דרך נקודת ביניים[עריכה]

קירוב זה משתמש בשלוש נקודות, כאשר הנקודה האמצעית קובעת את גובה המלבן, אשר נפרש לאורך שלושת הנקודות.

Mittelpunktsregel.svg

קירוב שלישי: שיטת סימפסון[עריכה]

Simpsons method illustration.svg

לפי הביטויים שקיבלנו אפשר לראות כי ניתן להשתמש בשיטה רק כאשר יש לנו מספר זוגי של מלבנים.

נשים לב כי 2h הוא אורך תחום האינטגרל, אשר כופל סכום משוקלל של ערכי הפונקציה בתחום, וסכום המשקלים הוא 1. במקרה זה משתמשים ב-3 נקודות במשקלים . כמו כן, מאחר והקירוב התקבל על ידי פולינום ממעלה 3, אז שיטה זו תתן תוצאה מדוייקת לכל פולינום עד מעלה 3.

שיקולי דיוק: גם כאן ניתן להפעיל את הכללים שראינו עבור n=1.

ראו גם[עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכה]


הפרק הקודם:
גזירה נומרית
אינטגרציה נומרית הפרק הבא:
יציבות נומרית