מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
הפרשים סופיים תפקיד מרכזי נוסף שיש לאנליזה הנומרית הוא אינטרפולציה, חישוב אינטגלים וחישוב נגזרות של פונקציות אשר ערכן ידוע בנקודות בדידות בלבד, כפי שמתקבל בדרך כלל מניסויים מדעיים. על מנת לפתח את הנוסחאות המתאימות, נניח כי המרחקים על ציר x בין כל שתי נקודות סמוכות הם שווים, כך שמתקיים
x
i
=
x
0
+
i
h
{\displaystyle \ x_{i}=x_{0}+ih}
0 היא הנקודה הראשונה שעבורה ידוע ערך הפונקציה ו-h הוא המרחק בין שתי נקודות סמוכות. עקב הנחת מרחקים שווים, אנו יכולים כעת להגדיר סט של אופרטורים לינאריים אשר בעזרתם נייצג פעולות על מערך הנקודות שברשותינו, כגון תזוזה לנקודה הבאה (אופרטור הזזה) ומציאת הפרשים בין שתי נקודות (אופרטור הפרשים). השיטות לפיתוח נוסחאות מקורבות בדרך זו נקראות "שיטות הפרשים סופיים " (Finite Difference).
[ עריכה ]
שם האופרטור
כתיב מתמטי
אופרטור הזזה:
E
[
f
(
x
)
]
=
f
(
x
+
h
)
,
E
k
[
f
(
x
)
]
=
f
(
x
+
k
h
)
{\displaystyle \ E[f(x)]=f(x+h)\quad ,\quad E^{k}[f(x)]=f(x+kh)}
אופרטור הפרשים אחוריים:
∇
[
f
(
x
)
]
=
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
{\displaystyle \ \nabla [f(x)]=f(x)-f(x-h)}
אופרטור הפרשים קידמיים:
Δ
[
f
(
x
)
]
=
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \ \Delta [f(x)]=f(x+h)-f(x)}
אופרטור הפרשים מרכזיים:
δ
[
f
(
x
)
]
=
f
(
x
+
h
2
)
−
f
(
x
−
h
2
)
{\displaystyle \ \delta [f(x)]=f\left(x+{h \over 2}\right)-f\left(x-{h \over 2}\right)}
אופרטור מיצוע:
μ
[
f
(
x
)
]
=
1
2
[
f
(
x
+
h
2
)
+
f
(
x
−
h
2
)
]
{\displaystyle \ \mu [f(x)]={1 \over 2}\left[f\left(x+{h \over 2}\right)+f\left(x-{h \over 2}\right)\right]}
אופרטור גזירה:
D
[
f
(
x
)
]
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle \ D[f(x)]={\frac {\partial f}{\partial x}}}
אופרטור הזהות:
I
[
f
(
x
)
]
=
f
(
x
)
{\displaystyle \ I[f(x)]=f(x)}
אופרטור הפרשים סופיים:
Γ
{\displaystyle \ \Gamma }
Γ
n
f
(
x
i
)
{\displaystyle \ \Gamma ^{n}f(x_{i})}
h
(
n
)
f
(
n
)
(
c
)
{\displaystyle \ h^{(n)}f^{(n)}(c)}
=
E
{\displaystyle \ E}
Δ
{\displaystyle \ \Delta }
∇
{\displaystyle \ \nabla }
δ
{\displaystyle \ \delta }
h
D
{\displaystyle \ hD}
E
{\displaystyle \ E}
E
{\displaystyle \ E}
I
+
Δ
{\displaystyle \ I+\Delta }
(
I
−
∇
)
−
1
{\displaystyle \ (I-\nabla )^{-1}}
I
+
δ
2
2
+
δ
I
+
δ
2
4
{\displaystyle \ I+{\delta ^{2} \over 2}+\delta {\sqrt {I+{\delta ^{2} \over 4}}}}
e
h
D
{\displaystyle \ e^{hD}}
Δ
{\displaystyle \ \Delta }
E
−
I
{\displaystyle \ E-I}
Δ
{\displaystyle \ \Delta }
(
I
−
∇
)
−
1
−
I
{\displaystyle \ (I-\nabla )^{-1}-I}
δ
2
2
+
δ
I
+
δ
2
4
{\displaystyle \ {\delta ^{2} \over 2}+\delta {\sqrt {I+{\delta ^{2} \over 4}}}}
e
h
D
−
I
{\displaystyle \ e^{hD}-I}
∇
{\displaystyle \ \nabla }
I
−
E
−
1
{\displaystyle \ I-E^{-1}}
I
−
(
I
+
Δ
)
−
1
{\displaystyle \ I-(I+\Delta )^{-1}}
∇
{\displaystyle \ \nabla }
−
δ
2
2
+
δ
I
+
δ
2
4
{\displaystyle \ -{\delta ^{2} \over 2}+\delta {\sqrt {I+{\delta ^{2} \over 4}}}}
I
−
e
h
D
{\displaystyle \ I-e^{hD}}
δ
{\displaystyle \ \delta }
E
1
2
−
E
−
1
2
{\displaystyle \ E^{1 \over 2}-E^{-{1 \over 2}}}
Δ
(
I
+
Δ
)
−
1
2
{\displaystyle \ \Delta (I+\Delta )^{-{1 \over 2}}}
∇
(
I
−
∇
)
−
1
2
{\displaystyle \ \nabla (I-\nabla )^{-{1 \over 2}}}
δ
{\displaystyle \ \delta }
2
sinh
(
h
D
2
)
{\displaystyle \ 2\sinh \left({hD \over 2}\right)}
μ
{\displaystyle \ \mu }
1
2
(
E
1
2
−
E
−
1
2
)
{\displaystyle \ {1 \over 2}\left(E^{1 \over 2}-E^{-{1 \over 2}}\right)}
(
I
+
Δ
2
)
(
I
+
Δ
)
−
1
2
{\displaystyle \ \left(I+{\Delta \over 2}\right)(I+\Delta )^{-{1 \over 2}}}
(
I
−
∇
2
)
(
I
−
∇
)
−
1
2
{\displaystyle \ \left(I-{\nabla \over 2}\right)(I-\nabla )^{-{1 \over 2}}}
I
+
δ
2
4
{\displaystyle \ {\sqrt {I+{\delta ^{2} \over 4}}}}
cosh
(
h
D
2
)
{\displaystyle \ \cosh \left({hD \over 2}\right)}
h
D
{\displaystyle \ hD}
ln
(
E
)
{\displaystyle \ \ln(E)}
ln
(
I
+
Δ
)
{\displaystyle \ \ln(I+\Delta )}
−
ln
(
I
−
∇
)
{\displaystyle \ -\ln(I-\nabla )}
2
sinh
−
1
(
δ
2
)
{\displaystyle \ 2\sinh ^{-1}\left({\delta \over 2}\right)}
h
D
{\displaystyle \ hD}
הוכחת
E
=
e
h
D
{\displaystyle \ E=e^{hD}}
הוכחת
E
=
1
+
Δ
{\displaystyle \ E=1+\Delta }
E
f
(
x
)
=
f
(
x
+
h
)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
=
(
1
+
Δ
)
f
(
x
)
{\displaystyle \ Ef(x)=f(x+h)=f(x)+f(x+h)-f(x)=f(x)+\Delta f(x)=(1+\Delta )f(x)}
הוכחת
∇
=
1
−
E
−
1
{\displaystyle \ \nabla =1-E^{-1}}
[
I
−
E
−
1
]
f
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
=
∇
f
(
x
)
{\displaystyle \ [I-E^{-1}]f(x)=f(x)-f(x-h)=\nabla f(x)}
הוכחת
δ
=
2
sinh
(
h
D
2
)
{\displaystyle \ \delta =2\sinh \left({hD \over 2}\right)}
δ
f
(
x
)
=
E
1
2
f
(
x
)
−
E
−
1
2
f
(
x
)
=
(
E
1
2
−
E
−
1
2
)
f
(
x
)
=
{\displaystyle \ \delta f(x)=E^{1 \over 2}f(x)-E^{-{1 \over 2}}f(x)=(E^{1 \over 2}-E^{-{1 \over 2}})f(x)=}
=
[
e
h
D
2
−
e
−
h
D
2
]
f
(
x
)
=
2
sinh
h
D
2
f
(
x
)
{\displaystyle \ =[e^{hD \over 2}-e^{-{hD \over 2}}]f(x)=2\sinh {hD \over 2}f(x)}
הוכחת
μ
=
(
I
−
∇
2
)
(
I
−
∇
)
−
1
2
{\displaystyle \ \mu =\left(I-{\nabla \over 2}\right)(I-\nabla )^{-{1 \over 2}}}
I
−
∇
=
E
−
1
⇒
(
I
−
∇
2
)
E
1
2
f
(
x
)
=
(
I
−
∇
2
)
f
(
x
+
h
2
)
=
{\displaystyle \ I-\nabla =E^{-1}\ \Rightarrow \ \left(I-{\nabla \over 2}\right)E^{1 \over 2}f(x)=\left(I-{\nabla \over 2}\right)f(x+{\tfrac {h}{2}})=}
=
f
(
x
+
h
2
)
−
1
2
(
f
(
x
+
h
2
)
−
f
(
x
−
h
2
)
)
=
1
2
(
f
(
x
+
h
2
)
+
f
(
x
−
h
2
)
)
=
μ
f
(
x
)
{\displaystyle \ =f(x+{\tfrac {h}{2}})-{1 \over 2}\left(f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})\right)={1 \over 2}\left(f(x+{\tfrac {h}{2}})+f(x-{\tfrac {h}{2}})\right)=\mu f(x)}
הוכחת
μ
=
cosh
h
D
2
{\displaystyle \ \mu =\cosh {hD \over 2}}
e
h
D
2
=
E
1
2
⇒
cosh
h
D
2
=
e
h
D
2
+
e
−
h
D
2
2
=
E
1
2
+
E
−
1
2
2
⇒
{\displaystyle \ e^{hD \over 2}=E^{1 \over 2}\ \Rightarrow \ \cosh {hD \over 2}={\frac {e^{hD \over 2}+e^{-{hD \over 2}}}{2}}={\frac {E^{1 \over 2}+E^{-{1 \over 2}}}{2}}\ \Rightarrow \ }
1
2
(
E
1
2
f
(
x
)
+
E
−
1
2
f
(
x
)
)
=
1
2
(
f
(
x
+
h
2
)
+
f
(
x
−
h
2
)
)
=
μ
f
(
x
)
{\displaystyle \ {1 \over 2}\left(E^{1 \over 2}f(x)+E^{-{1 \over 2}}f(x)\right)={1 \over 2}\left(f(x+{\tfrac {h}{2}})+f(x-{\tfrac {h}{2}})\right)=\mu f(x)}
הוכחת
μ
=
(
I
+
δ
2
4
)
1
2
{\displaystyle \ \mu =\left(I+{\delta ^{2} \over 4}\right)^{1 \over 2}}
δ
=
E
1
2
−
E
−
1
2
⇒
I
+
δ
2
4
=
I
+
(
E
1
2
−
E
−
1
2
)
2
4
=
E
+
2
I
+
E
−
1
4
=
(
E
1
2
+
E
−
1
2
2
)
2
{\displaystyle \ \delta =E^{1 \over 2}-E^{-{1 \over 2}}\ \Rightarrow \ I+{\delta ^{2} \over 4}=I+{\frac {(E^{1 \over 2}-E^{-{1 \over 2}})^{2}}{4}}={\frac {E+2I+E^{-1}}{4}}=\left({E^{1 \over 2}+E^{-{1 \over 2}} \over 2}\right)^{2}}
⇒
(
E
1
2
+
E
−
1
2
2
)
2
=
E
1
2
+
E
−
1
2
2
=
μ
{\displaystyle \ \Rightarrow \ {\sqrt {\left({E^{1 \over 2}+E^{-{1 \over 2}} \over 2}\right)^{2}}}={E^{1 \over 2}+E^{-{1 \over 2}} \over 2}=\mu }
E
E
−
1
=
1
{\displaystyle \ EE^{-1}=1}
E
E
−
1
f
(
x
)
=
E
[
E
−
1
f
(
x
)
]
=
E
[
f
(
x
−
h
)
]
=
f
(
x
)
{\displaystyle \ EE^{-1}f(x)=E[E^{-1}f(x)]=E[f(x-h)]=f(x)}
בדומה ניתן להראות כי:
Δ
Δ
−
1
=
∇
∇
−
1
=
δ
δ
−
1
=
1
{\displaystyle \ \Delta \Delta ^{-1}=\nabla \nabla ^{-1}=\delta \delta ^{-1}=1}
הוכחת
Δ
=
E
∇
{\displaystyle \ \Delta =E\nabla }
E
∇
f
(
x
)
=
E
(
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
)
=
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
=
Δ
f
(
x
)
{\displaystyle \ E\nabla f(x)=E(f(x)-f(x-h))=f(x+h)-f(x)=\Delta f(x)}
האופרטורים
Δ
,
∇
{\displaystyle \ \Delta ,\nabla }
Δ
∇
=
∇
Δ
{\displaystyle \ \Delta \nabla =\nabla \Delta }
מתקיים
δ
2
=
Δ
∇
=
∇
Δ
{\displaystyle \ \delta ^{2}=\Delta \nabla =\nabla \Delta }
δ
2
f
(
x
)
=
δ
[
δ
f
(
x
)
]
=
δ
[
f
(
x
+
1
2
h
)
−
f
(
x
−
1
2
h
)
]
=
δ
f
(
x
+
1
2
h
)
−
δ
f
(
x
−
1
2
h
)
=
{\displaystyle \ \delta ^{2}f(x)=\delta [\delta f(x)]=\delta \left[f\left(x+{1 \over 2}h\right)-f\left(x-{1 \over 2}h\right)\right]=\delta f\left(x+{1 \over 2}h\right)-\delta f\left(x-{1 \over 2}h\right)=}
=
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
]
−
[
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
]
=
f
(
x
+
h
)
−
2
f
(
x
)
+
f
(
x
−
h
)
{\displaystyle \ =[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)]=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}
הוכחת
δ
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
μ
f
(
x
)
δ
g
(
x
)
+
μ
g
(
x
)
δ
f
(
x
)
{\displaystyle \ \delta (f(x)g(x))=\mu f(x)\delta g(x)+\mu g(x)\delta f(x)}
μ
f
(
x
)
δ
g
(
x
)
=
1
2
[
f
(
x
+
h
2
)
+
f
(
x
−
h
2
)
]
[
g
(
x
+
h
2
)
−
g
(
x
−
h
2
)
]
{\displaystyle \ \mu f(x)\delta g(x)={\frac {1}{2}}\left[f\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)+f\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]\left[g\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)-g\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]}
μ
g
(
x
)
δ
f
(
x
)
=
1
2
[
g
(
x
+
h
2
)
+
g
(
x
−
h
2
)
]
[
f
(
x
+
h
2
)
−
f
(
x
−
h
2
)
]
{\displaystyle \ \mu g(x)\delta f(x)={\frac {1}{2}}\left[g\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)+g\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]\left[f\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)-f\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]}
⇒
μ
f
(
x
)
δ
g
(
x
)
+
μ
g
(
x
)
δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
h
2
)
g
(
x
+
h
2
)
−
f
(
x
−
h
2
)
g
(
x
−
h
2
)
=
δ
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
{\displaystyle \ \Rightarrow \ \mu f(x)\delta g(x)+\mu g(x)\delta f(x)=f\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)g\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)-f\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)g\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)=\delta (f(x)g(x))}
μ
(
f
g
)
=
μ
f
μ
g
+
0.25
δ
f
δ
g
{\displaystyle \ \mu (fg)=\mu f\mu g+0.25\delta f\delta g}
μ
(
f
g
)
=
μ
f
μ
g
−
0.25
δ
f
δ
g
E
−
1
2
g
E
1
2
g
{\displaystyle \ \mu \left({f \over g}\right)={\frac {\mu f\mu g-0.25\delta f\delta g}{E^{-{1 \over 2}}gE^{1 \over 2}g}}}
הוכחת
E
1
2
+
E
−
1
2
=
2
cosh
h
D
2
{\displaystyle \ E^{1 \over 2}+E^{-{1 \over 2}}=2\cosh {hD \over 2}}
E
1
2
+
E
−
1
2
=
e
h
D
2
+
e
−
h
D
2
=
2
cosh
h
D
2
{\displaystyle \ E^{1 \over 2}+E^{-{1 \over 2}}=e^{hD \over 2}+e^{-{hD \over 2}}=2\cosh {hD \over 2}}
הוכחת
δ
n
f
(
x
k
+
n
2
)
=
Δ
n
f
(
x
k
)
{\displaystyle \ \delta ^{n}f(x_{k+{\frac {n}{2}}})=\Delta ^{n}f(x_{k})}
δ
n
f
(
x
k
+
n
2
)
=
δ
n
E
n
2
f
(
x
k
)
=
[
δ
E
1
2
]
n
f
(
x
k
)
=
[
(
E
1
2
−
E
−
1
2
)
E
1
2
]
n
f
(
x
k
)
=
[
E
−
1
]
n
f
(
x
k
)
=
Δ
n
f
(
x
k
)
=
Δ
n
f
(
x
k
)
{\displaystyle \ \delta ^{n}f(x_{k+{\frac {n}{2}}})=\delta ^{n}E^{n \over 2}f(x_{k})=[\delta E^{1 \over 2}]^{n}f(x_{k})=[(E^{1 \over 2}-E^{-{1 \over 2}})E^{1 \over 2}]^{n}f(x_{k})=[E-1]^{n}f(x_{k})=\Delta ^{n}f(x_{k})=\Delta ^{n}f(x_{k})}
הוכחת
I
I
+
E
=
1
2
∑
n
=
0
∞
(
−
Δ
2
)
n
{\displaystyle \ {I \over I+E}={1 \over 2}\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(-{\Delta \over 2}\right)^{n}}
E
=
1
+
Δ
⇒
I
+
E
=
2
I
+
Δ
⇒
I
I
+
E
=
I
2
I
+
Δ
=
1
2
(
I
+
Δ
2
)
−
1
=
{\displaystyle \ E=1+\Delta \ \Rightarrow \ I+E=2I+\Delta \ \Rightarrow \ {I \over I+E}={I \over 2I+\Delta }={1 \over 2}\left(I+{\Delta \over 2}\right)^{-1}=}
=
1
2
[
1
−
1
⋅
Δ
2
+
(
−
1
)
(
−
1
−
1
)
(
Δ
2
)
2
2
+
(
−
1
)
(
−
1
−
1
)
(
−
1
−
2
)
(
Δ
2
)
3
3
!
]
=
{\displaystyle \ ={1 \over 2}\left[1-1\cdot {\Delta \over 2}+(-1)(-1-1){\frac {\left({\Delta \over 2}\right)^{2}}{2}}+(-1)(-1-1)(-1-2){\frac {\left({\Delta \over 2}\right)^{3}}{3!}}\right]=}
=
1
2
[
1
−
Δ
2
+
(
Δ
2
)
2
−
(
Δ
2
)
3
+
.
.
.
]
=
1
2
∑
n
=
0
∞
(
−
Δ
2
)
n
{\displaystyle \ ={1 \over 2}\left[1-{\Delta \over 2}+\left({\Delta \over 2}\right)^{2}-\left({\Delta \over 2}\right)^{3}+...\right]={1 \over 2}\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(-{\Delta \over 2}\right)^{n}}
![{\displaystyle \ E[f(x)]=f(x+h)\quad ,\quad E^{k}[f(x)]=f(x+kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482455c10f56da45e7548665dbb51cfa62c3975d)
![{\displaystyle \ \nabla [f(x)]=f(x)-f(x-h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae67c40577c98e5f1764e8b2fe3bdf33df03e3b)
![{\displaystyle \ \Delta [f(x)]=f(x+h)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcb10c2d18471e3d314598361a9ee9973cf05bb)
![{\displaystyle \ \delta [f(x)]=f\left(x+{h \over 2}\right)-f\left(x-{h \over 2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252e0f60f2af25d616e2c4f569f17ee46a3fab49)
![{\displaystyle \ \mu [f(x)]={1 \over 2}\left[f\left(x+{h \over 2}\right)+f\left(x-{h \over 2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb57d1dab75db11cf7b62deb4d74b617b1a181e3)
![{\displaystyle \ D[f(x)]={\frac {\partial f}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333c0153f43a796e56c6614b8c8e24eeb6074923)
![{\displaystyle \ I[f(x)]=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ef8fc561e9cde738f123d2edfbc1ef20f25adf)
![{\displaystyle \ =\left[1+hD+{(hD)^{2} \over 2!}+{(hD)^{3} \over 3!}+...\right]f(x)=e^{hD}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161dff9adfe0a9bff3ce9782030541794d2648ef)
![{\displaystyle \ [I-E^{-1}]f(x)=f(x)-f(x-h)=\nabla f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706e0265da9d03916c655ad22722bdd5ec2d95d2)
![{\displaystyle \ =[e^{hD \over 2}-e^{-{hD \over 2}}]f(x)=2\sinh {hD \over 2}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d7ca9c825888a49e079bb485a3a50e2a0bb7ab)
![{\displaystyle \ EE^{-1}f(x)=E[E^{-1}f(x)]=E[f(x-h)]=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6e0bb711fbb268551aaa27c76ebcedfae6e684)
![{\displaystyle \ =[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280f65f00261df92a36352e0056c8afbe8d234ff)
![{\displaystyle \ \delta ^{2}f(x)=\delta [\delta f(x)]=\delta \left[f\left(x+{1 \over 2}h\right)-f\left(x-{1 \over 2}h\right)\right]=\delta f\left(x+{1 \over 2}h\right)-\delta f\left(x-{1 \over 2}h\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d368bda18c02370a85763a3eddeccc809f19aa1)
![{\displaystyle \ =[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)]=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57695f8d4fb91fd78f415b95a4066ef5c36e7c29)
![{\displaystyle \ \mu f(x)\delta g(x)={\frac {1}{2}}\left[f\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)+f\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]\left[g\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)-g\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16796e3f2bc52fc754fb4ed4c69c214391fe1ec1)
![{\displaystyle \ \mu g(x)\delta f(x)={\frac {1}{2}}\left[g\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)+g\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]\left[f\left(x+{\tfrac {h}{2}}\right)-f\left(x-{\tfrac {h}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388cdbb33e5427a0d38b1b5804c58683f74a294d)
![{\displaystyle \ \delta ^{n}f(x_{k+{\frac {n}{2}}})=\delta ^{n}E^{n \over 2}f(x_{k})=[\delta E^{1 \over 2}]^{n}f(x_{k})=[(E^{1 \over 2}-E^{-{1 \over 2}})E^{1 \over 2}]^{n}f(x_{k})=[E-1]^{n}f(x_{k})=\Delta ^{n}f(x_{k})=\Delta ^{n}f(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b5dc00aa6498cb0ef145a0e90f4ba57565f027)
![{\displaystyle \ ={1 \over 2}\left[1-1\cdot {\Delta \over 2}+(-1)(-1-1){\frac {\left({\Delta \over 2}\right)^{2}}{2}}+(-1)(-1-1)(-1-2){\frac {\left({\Delta \over 2}\right)^{3}}{3!}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9467ab4530db043b4ef06738a85c4657e6c8c212)
![{\displaystyle \ ={1 \over 2}\left[1-{\Delta \over 2}+\left({\Delta \over 2}\right)^{2}-\left({\Delta \over 2}\right)^{3}+...\right]={1 \over 2}\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(-{\Delta \over 2}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1696cca4a455cdcc49b299d0b6cb207a85f241d8)
