אנליזה נומרית/אופרטורים של הפרשים סופיים

הפרשים סופיים

תפקיד מרכזי נוסף שיש לאנליזה הנומרית הוא אינטרפולציה, חישוב אינטגלים וחישוב נגזרות של פונקציות אשר ערכן ידוע בנקודות בדידות בלבד, כפי שמתקבל בדרך כלל מניסויים מדעיים. על מנת לפתח את הנוסחאות המתאימות, נניח כי המרחקים על ציר x בין כל שתי נקודות סמוכות הם שווים, כך שמתקיים $x_i=x_0+ih$ כאשר x₀ היא הנקודה הראשונה שעבורה ידוע ערך הפונקציה ו-h הוא המרחק בין שתי נקודות סמוכות. עקב הנחת מרחקים שווים, אנו יכולים כעת להגדיר סט של אופרטורים לינאריים אשר בעזרתם נייצג פעולות על מערך הנקודות שברשותינו, כגון תזוזה לנקודה הבאה (אופרטור הזזה) ומציאת הפרשים בין שתי נקודות (אופרטור הפרשים). השיטות לפיתוח נוסחאות מקורבות בדרך זו נקראות "שיטות הפרשים סופיים" (Finite Difference).

האופרטורים הלנאריים

שם האופרטור	כתיב מתמטי
אופרטור הזזה:	$E[f(x)]=f(x+h),E^k[f(x)]=f(x+kh)$
אופרטור הפרשים אחוריים:	$\mathrm{\nabla }[f(x)]=f(x)-f(x-h)$
אופרטור הפרשים קידמיים:	$\mathrm{\Delta }[f(x)]=f(x+h)-f(x)$
אופרטור הפרשים מרכזיים:	$\delta [f(x)]=f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})$
אופרטור מיצוע:	$\mu [f(x)]=\frac{1}{2}[f(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2})]$
אופרטור גזירה:	$D[f(x)]=\frac{\partial f}{\partial x}$
אופרטור הזהות:	$I[f(x)]=f(x)$

אופרטורים נוספים

• אופרטור הפרשים סופיים: $\mathrm{\Gamma }$.
  אם אבר השגיאה של נוסחה מקורבת הוא ${\mathrm{\Gamma }}^{n}f(x_i)$ אז על פי משפט לגראנז' השגיאה תהיה $h^{(n)}{f}^{(n)}(c)$.

זהויות אופרטוריות

=	$E$	$\mathrm{\Delta }$	$\mathrm{\nabla }$	$\delta$	$hD$
$E$	$E$	$I+\mathrm{\Delta }$	$(I-\mathrm{\nabla }{)}^{-1}$	$I+\frac{{\delta }^2}{2}+\delta \sqrt{I+\frac{{\delta }^2}{4}}$	$e^{hD}$
$\mathrm{\Delta }$	$E-I$	$\mathrm{\Delta }$	$(I-\mathrm{\nabla }{)}^{-1}-I$	$\frac{{\delta }^2}{2}+\delta \sqrt{I+\frac{{\delta }^2}{4}}$	$e^{hD}-I$
$\mathrm{\nabla }$	$I-E^{-1}$	$I-(I+\mathrm{\Delta }{)}^{-1}$	$\mathrm{\nabla }$	$-\frac{{\delta }^2}{2}+\delta \sqrt{I+\frac{{\delta }^2}{4}}$	$I-e^{hD}$
$\delta$	$E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}$	$\mathrm{\Delta }(I+\mathrm{\Delta }{)}^{-\frac{1}{2}}$	$\mathrm{\nabla }(I-\mathrm{\nabla }{)}^{-\frac{1}{2}}$	$\delta$	$2\sinh \left(\frac{hD}{2}\right)$
$\mu$	$\frac{1}{2}(E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}})$	$(I+\frac{\mathrm{\Delta }}{2})(I+\mathrm{\Delta }{)}^{-\frac{1}{2}}$	$(I-\frac{\mathrm{\nabla }}{2})(I-\mathrm{\nabla }{)}^{-\frac{1}{2}}$	$\sqrt{I+\frac{{\delta }^2}{4}}$	$\cosh \left(\frac{hD}{2}\right)$
$hD$	$\ln (E)$	$\ln (I+\mathrm{\Delta })$	$-\ln (I-\mathrm{\nabla })$	$2{\sinh }^{-1}\left(\frac{\delta }{2}\right)$	$hD$

הוכחות

• הוכחת $E=e^{hD}$:

$Ef(x)=f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2!}{f}^{″}(x)+\frac{h^3}{3!}{f}^{‴}(x)+\mathrm{...}=$
$=f(x)+hDf(x)+\frac{h^2}{2!}{D}^{2}f(x)+\frac{h^3}{3!}{D}^{3}f(x)+\mathrm{...}=$
$=[1+hD+\frac{(hD{)}^2}{2!}+\frac{(hD{)}^3}{3!}+\mathrm{...}]f(x)=e^{hD}f(x)$

• הוכחת $E=1+\mathrm{\Delta }$:

$Ef(x)=f(x+h)=f(x)+f(x+h)-f(x)=f(x)+\mathrm{\Delta }f(x)=(1+\mathrm{\Delta })f(x)$

• הוכחת $\mathrm{\nabla }=1-E^{-1}$:

$[I-E^{-1}]f(x)=f(x)-f(x-h)=\mathrm{\nabla }f(x)$

• הוכחת $\delta =2\sinh \left(\frac{hD}{2}\right)$ :

$\delta f(x)=E^{\frac{1}{2}}f(x)-E^{-\frac{1}{2}}f(x)=(E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}})f(x)=$
$=[e^{\frac{hD}{2}}-e^{-\frac{hD}{2}}]f(x)=2\sinh \frac{hD}{2}f(x)$

• הוכחת $\mu =(I-\frac{\mathrm{\nabla }}{2})(I-\mathrm{\nabla }{)}^{-\frac{1}{2}}$:

$I-\mathrm{\nabla }=E^{-1}\Rightarrow (I-\frac{\mathrm{\nabla }}{2})E^{\frac{1}{2}}f(x)=(I-\frac{\mathrm{\nabla }}{2})f(x+\frac{h}{2})=$

$=f(x+\frac{h}{2})-\frac{1}{2}(f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}))=\frac{1}{2}(f(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2}))=\mu f(x)$

• הוכחת $\mu =\cosh \frac{hD}{2}$:

$e^{\frac{hD}{2}}=E^{\frac{1}{2}}\Rightarrow \cosh \frac{hD}{2}=\frac{e^{\frac{hD}{2}}+e^{-\frac{hD}{2}}}{2}=\frac{E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}}{2}\Rightarrow$

$\frac{1}{2}(E^{\frac{1}{2}}f(x)+E^{-\frac{1}{2}}f(x))=\frac{1}{2}(f(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2}))=\mu f(x)$

• הוכחת $\mu ={(I+\frac{{\delta }^2}{4})}^{\frac{1}{2}}$:

$\delta =E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow I+\frac{{\delta }^2}{4}=I+\frac{(E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}{)}^2}{4}=\frac{E+2I+E^{-1}}{4}={\left(\frac{E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}}{2}\right)}^2$

$\Rightarrow \sqrt{{\left(\frac{E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}}{2}\right)}^2}=\frac{E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}}{2}=\mu$

זהויות נוספות

• $E{E}^{-1}=1$:

$E{E}^{-1}f(x)=E[E^{-1}f(x)]=E[f(x-h)]=f(x)$

• בדומה ניתן להראות כי: $\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Delta }}^{-1}=\mathrm{\nabla }{\mathrm{\nabla }}^{-1}=\delta {\delta }^{-1}=1$.
• הוכחת $\mathrm{\Delta }=E\mathrm{\nabla }$:

$E\mathrm{\nabla }f(x)=E(f(x)-f(x-h))=f(x+h)-f(x)=\mathrm{\Delta }f(x)$

• האופרטורים $\mathrm{\Delta },\mathrm{\nabla }$ קומוטטיביים, כלומר מתקיים: $\mathrm{\Delta }\mathrm{\nabla }=\mathrm{\nabla }\mathrm{\Delta }$.

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Delta }f(x)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Delta }f(x))=\mathrm{\nabla }(f(x+h)-f(x))=\mathrm{\nabla }f(x+h)-\mathrm{\nabla }f(x)=$
$=[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)$

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\nabla }f(x)=\mathrm{\Delta }(\mathrm{\nabla }f(x))=\mathrm{\Delta }(f(x)-f(x-h))=\mathrm{\Delta }f(x)-\mathrm{\Delta }f(x-h)=$
$=[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)$

• מתקיים ${\delta }^2=\mathrm{\Delta }\mathrm{\nabla }=\mathrm{\nabla }\mathrm{\Delta }$ :

${\delta }^{2}f(x)=\delta [\delta f(x)]=\delta [f(x+\frac{1}{2}h)-f(x-\frac{1}{2}h)]=\delta f(x+\frac{1}{2}h)-\delta f(x-\frac{1}{2}h)=$
$=[f(x+h)-f(x)]-[f(x)-f(x-h)]=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)$

• הוכחת $\delta (f(x)g(x))=\mu f(x)\delta g(x)+\mu g(x)\delta f(x)$:

$\mu f(x)\delta g(x)=\frac{1}{2}[f(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2})][g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})]$

$\mu g(x)\delta f(x)=\frac{1}{2}[g(x+\frac{h}{2})+g(x-\frac{h}{2})][f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})]$

$\Rightarrow \mu f(x)\delta g(x)+\mu g(x)\delta f(x)=f(x+\frac{h}{2})g(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})g(x-\frac{h}{2})=\delta (f(x)g(x))$

• כמו כן נית להראות כי:

$\mu (fg)=\mu f\mu g+0.25\delta f\delta g$

$\mu \left(\frac{f}{g}\right)=\frac{\mu f\mu g-0.25\delta f\delta g}{E^{-\frac{1}{2}}g{E}^{\frac{1}{2}}g}$

• הוכחת $E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}=2\cosh \frac{hD}{2}$:

$E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}=e^{\frac{hD}{2}}+e^{-\frac{hD}{2}}=2\cosh \frac{hD}{2}$

• הוכחת ${\delta }^{n}f(x_{k+\frac{n}{2}})={\mathrm{\Delta }}^{n}f(x_k)$:

${\delta }^{n}f(x_{k+\frac{n}{2}})={\delta }^n{E}^{\frac{n}{2}}f(x_k)=[\delta E^{\frac{1}{2}}{]}^{n}f(x_k)=[(E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}})E^{\frac{1}{2}}{]}^{n}f(x_k)=[E-1{]}^{n}f(x_k)={\mathrm{\Delta }}^{n}f(x_k)={\mathrm{\Delta }}^{n}f(x_k)$

• הוכחת $\frac{I}{I+E}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{\mathrm{\Delta }}{2})}^n$:

$E=1+\mathrm{\Delta }\Rightarrow I+E=2I+\mathrm{\Delta }\Rightarrow \frac{I}{I+E}=\frac{I}{2I+\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}{(I+\frac{\mathrm{\Delta }}{2})}^{-1}=$

$=\frac{1}{2}[1-1\cdot \frac{\mathrm{\Delta }}{2}+(-1)(-1-1)\frac{{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{2}\right)}^2}{2}+(-1)(-1-1)(-1-2)\frac{{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{2}\right)}^3}{3!}]=$

$=\frac{1}{2}[1-\frac{\mathrm{\Delta }}{2}+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{2}\right)}^3+\mathrm{...}]=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{\mathrm{\Delta }}{2})}^n$

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: הפרשים סופיים (אנגלית)

• הפרשים סופיים באתר MathWorld.

הפרק הקודם: שיטות איטרטיביות רב צעדיות

אופרטורים של הפרשים סופיים

הפרק הבא: אינטרפולציה: הפרשים סופיים