לדלג לתוכן

אנליזה נומרית/אינטרפולציה: הפרשים סופיים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

אינטרפולציה היא מציאת קירוב לערך הפונקציה בין שתי נקודות נתונות. מעתה והלאה נניח, כמו מקודם, כי המרחקים על ציר x בין כל שתי נקודות סמוכות הוא h. לכן כל נקודה ניתן לייצוג על ידי , כאשר .

אינטרפולציה באמצעות הפרשים קידמיים[עריכה]

נשתמש באופרטורים אשר פיתחנו קודם על מנת לייצג נקודות שאין לנו מידע עבורן. ניעזר בקשר ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

קירוב לינארי[עריכה]

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

קירוב ריבועי[עריכה]

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של פרבולה.

נשים לב כי עבור θ=0,1 נקבל חזרה את ערכי הפונקציה המקוריים. כללית: ע"י k נקודות ידועות נוכל לבנות שיטה מסדר k אשר תתן תוצאות מדויקות באותן נקודות ידועות, אך מכיוון שאנו מאלצים על פולינום מדרגה גבוהה לעבור דרך נקודות נתונות, הדיוק עלול להינזק.

הערכת השגיאה: נמצא קשר בין אופרטור הפרשים קדמיים לאופרטור הגזירה על מנת לבטא את השגיאה:

השארית מיוצגת ע"י האיבר הראשון בטור שהזנחנו, ולכן על ידי העבר אגפים פשוטה בקשר שקיבלנו ושימוש במשפט לגראנז' נותנים:

באופן דומה ניתן לפתח נוסחאות לאינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים והפרשים מרכזיים.

אינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים[עריכה]

ניעזר בקשר ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

קירוב לינארי[עריכה]

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

קירוב ריבועי[עריכה]

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



אינטרפולציה באמצעות הפרשים מרכזיים[עריכה]

(להשלים)


הפרק הקודם:
אופרטורים של הפרשים סופיים
אינטרפולציה: הפרשים סופיים הפרק הבא:
אינטרפולציה: מינימום ריבועים