אנליזה נומרית/אינטרפולציה: הפרשים סופיים

אינטרפולציה היא מציאת קירוב לערך הפונקציה בין שתי נקודות נתונות. מעתה והלאה נניח, כמו מקודם, כי המרחקים על ציר x בין כל שתי נקודות סמוכות הוא h. לכן כל נקודה ניתן לייצוג על ידי $x_i+\theta h$, כאשר $0\le \theta \le 1$.

אינטרפולציה באמצעות הפרשים קידמיים

נשתמש באופרטורים אשר פיתחנו קודם על מנת לייצג נקודות שאין לנו מידע עבורן. ניעזר בקשר $E=1+\mathrm{\Delta }$ ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

$f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1+\mathrm{\Delta }{)}^{\theta }f(x)=[1+\theta \mathrm{\Delta }+\frac{\theta (\theta -1)}{2!}{\mathrm{\Delta }}^2+\frac{\theta (\theta -1)(\theta -2)}{3!}{\mathrm{\Delta }}^3+\mathrm{...}]f(x)$

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

קירוב לינארי

$f(x+\theta h)\approx [1+\theta \mathrm{\Delta }]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

קירוב ריבועי

$f(x+\theta h)\approx [1+\theta \mathrm{\Delta }+\frac{\theta (\theta -1)}{2!}{\mathrm{\Delta }}^2]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]+\frac{\theta (\theta -1)}{2!}[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של פרבולה.

נשים לב כי עבור θ=0,1 נקבל חזרה את ערכי הפונקציה המקוריים. כללית: ע"י k נקודות ידועות נוכל לבנות שיטה מסדר k אשר תתן תוצאות מדויקות באותן נקודות ידועות, אך מכיוון שאנו מאלצים על פולינום מדרגה גבוהה לעבור דרך נקודות נתונות, הדיוק עלול להינזק.

הערכת השגיאה: נמצא קשר בין אופרטור הפרשים קדמיים לאופרטור הגזירה על מנת לבטא את השגיאה:

$Df(x_i)=f^{\prime }(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}=\frac{\mathrm{\Delta }}{h}f(x_i)\Rightarrow f^{‴}(x_i)={\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{h}\right)}^{3}f(x_i)$

השארית מיוצגת ע"י האיבר הראשון בטור שהזנחנו, ולכן על ידי העבר אגפים פשוטה בקשר שקיבלנו ושימוש במשפט לגראנז' נותנים:

$R=\left(\frac{\theta (\theta -1)(\theta -2)}{3!}{\mathrm{\Delta }}^3\right)f(x_i)\approx \frac{h^3\theta (\theta -1)(\theta -2)}{3!}{f}^{‴}(c)$

באופן דומה ניתן לפתח נוסחאות לאינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים והפרשים מרכזיים.

אינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים

ניעזר בקשר $E=(1+\mathrm{\nabla }{)}^{-1}$ ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

$f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1-\mathrm{\nabla }{)}^{-\theta }f(x)=[1+\theta \mathrm{\nabla }+\frac{\theta (\theta +1)}{2!}{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{\theta (\theta +1)(\theta +2)}{3!}{\mathrm{\nabla }}^3+\mathrm{...}]f(x)$

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

קירוב לינארי

$f(x+\theta h)\approx [1+\theta \mathrm{\nabla }]f(x)=f(x)+\theta [f(x)-f(x-h)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

קירוב ריבועי

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

אינטרפולציה באמצעות הפרשים מרכזיים

(להשלים)

הפרק הקודם: אופרטורים של הפרשים סופיים

אינטרפולציה: הפרשים סופיים

הפרק הבא: אינטרפולציה: מינימום ריבועים