פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 5

חבורת גלים

הקדמה אלגברית

ניזכר באלגברה לינארית: כל אבר במרחב וקטורי ניתן לייצוג על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס של המרחב. נניח שאיברי הבסיס עמו אנו עובדים הם $\{v_{i}\}_{i=1}^{N}$ , הרי שצירוף לינארי שלהם ייראה כך: $\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}v_{i}$ , כאשר $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{N}$ סקלרים.

כאשר יש לנו מרחב מממד N) N סופי או אינסופי, אבל בר-מניה), נוכל לכתוב את הצירוף הלינארי כסכום כלשהו, למשל: $\sum _{n\in N}\alpha _{n}v_{n}$ . אבל, מה קורה כאשר המימד של המרחב הוא רצף? כיצד נכתוב צירוף לינארי במקרה הזה?

נניח שיש לנו בסיס בממד רצף, כלומר אברי הבסיס הם $\{v(p,x)\}$ כאשר $p$ שייך לאינטרוול כלשהו $I$ (שיכול להיות גם כל הישר). שימו לב, שכאן לא מדובר בתלות ב- $p$ אלא האות $p$ מבטאת אינדקס, ממש כמו האות $i$ באבר הבסיס $v_{i}$ (שמסמן אבר בסיס עבור ממד סופי).

במקרה כזה, כמו בכל מקרה של מעבר מבדיד לרצף, הסכום הופך לאינטגרל. לכן, צירוף לינארי של אברי הבסיס במקרה שלנו ייראה כך: $\int \limits _{p\in I}\alpha (p)v(p,x)dp$ . שימו לב, שתוצאת האינטגרל הזו נותנת לנו וקטור שתלוי במשתנה $x$ , כלומר וקטור במרחב שלנו.

הקשר לפיזיקה קוונטית ולפונקצית גל

נתבונן בגל מישורי בעל מספר גל $k$ מסוים. כידוע, מספר זה מקיים: $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ , והוא ממשי. ראינו שמתקיים: ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ , לכן גם $p$ מייצג את מספר הגל.

בדומה למה שראינו קודם, גל מישורי כללי בממד אחד בעל קבוע $k$ ניתן לתיאור באמצעות: $e^{{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {p^{2}}{2m}}t+px\right)}$ .

על-מנת לתאר גל כללי במרחב עלינו לבצע, אם כן, סופרפוזיציה (ס"פ, הרכבה, צירוף לינארי) של גלים בעלי מספרי $k$ שונים. במקרה הכללי, יש לנו רצף של מספרים כאלה. לכן, גל כללי, המורכב מס"פ של גלים מישוריים, ייראה כך: $\psi (x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(p)e^{{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {p^{2}}{2m}}t+px\right)}\cdot dp$ כאשר $g(p)$ הינו המקדם (או "המשקל") המתאים לכל $p$ .

התפשטות של חבורת גלים

ברגע $t=0$ מכינים חבורת גלים: $\psi (x,t=0)=\int g(p)\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp$

אנו מניחים שהפונקציה $g(p)$ היא גאוסיאן. כזכור, בהסתברות גאוסיאן הוא מהצורה: ${\frac {e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$ , כאשר $\mu$ מסמל את הממוצע ו- $\sigma$ את סטיית התקן. במקרה שלנו, ניקח גאוסיאן כללי, כלומר מהצורה $Ae^{-\alpha (p-p_{0})^{2}}$. לכן, חבורת הגלים שלנו תיראה כך:

$\int g(p)\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp=\int Ae^{-\alpha (p-p_{0})^{2}}\cdot e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp=A\int e^{-\alpha (p-p_{0})^{2}+{\frac {i}{\hbar }}px}$

נסמן: $p'=p-p_{0}$ , כך שמתקיים: $p=p_{0}+p'$ . ואז, ברגע $t=0$ חבורת הגלים שלנו תיראה כך:

$\psi (x,t=0)=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}+{\frac {i}{\hbar }}(p_{0}+p')x}dp'=$

$=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x}dp'=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}p'x}dp'=$

$=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\left[\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)+i\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)\right]dp'=$

$=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x}\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\cos \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'+i\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (p')^{2}}\sin \left({\tfrac {p'x}{\hbar }}\right)dp'\right]=$

$=A{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x-{\frac {x^{2}}{4\alpha \hbar }}}$

התפתחות בזמן של חבורת גלים

עד כה דנו בגל, או יותר נכון - בחבורת גלים, ברגע $t=0$ . כעת, נתבונן בהתנהגות החבורה בזמן $t$ כלשהו, כלומר בהתפתחות שלה בזמן:
באופן כללי:
$\ =\psi \left(x,t=0\right)\cdot e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}t}$ (התפתחות בזמן) $\ \psi (x,t)=\psi \left(x,t=0\right)\times$

$\ =A\int _{-\infty }^{\infty }dp\cdot e^{-\alpha \left(p-p_{0}\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}px-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}t}$

נציב שוב $\ p'=p-p_{0}$, כך ששוב יתקיים: $\ p=p_{0}+p'$. נקבל:

$\ \psi (x,t)=A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\left(p_{0}+p'\right)^{2}}{2m}}t}=$

$\ =A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}+2p_{0}p'+p'^{2}}{2m}}t}=$

$\ =A\cdot \int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\alpha \left(p'\right)^{2}+{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x+{\frac {i}{\hbar }}p'x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}p'}{m}}t-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p'^{2}}{2m}}t}=$

$\ =Ae^{{\frac {i}{\hbar }}p_{0}x-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t}+\int _{-\infty }^{\infty }dp'e^{-\left(\alpha +{\frac {t}{2m\hbar }}\right)p'^{2}+{\frac {i}{\hbar }}\left(x-{\frac {p_{0}t}{m}}\right)p'}$

קיבלנו שוב אינטגרל מהצורה $\ e^{\beta (p')^{2}+\gamma p'}$, אלא שהפעם: $\ \gamma =x-{\frac {p_{0}}{m}}t,\ \ \beta =\alpha +{\frac {i}{2m\hbar }}t$.
נסמן לכן: $\ V_{0}={\frac {p_{o}}{m}},\ \beta _{0}={\frac {1}{2m\hbar }}$. נקבל:
$\ \psi \left(x,t\right)=Ae^{{\frac {i}{\hbar }}\left(p_{0}x-{\frac {p_{0}^{2}}{2m}}t\right)}{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha +i\beta _{0}t}}}\cdot e^{\frac {-\left(x-v_{0}t\right)}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}$

ניתוח התוצאה

נשים לב שהאקספוננט השני שהתקבל, כלומר ה- $\ {\frac {-\left(x-v_{0}t\right)}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}$, הוא בצורת גאוסיאן. ניזכר שוב במתמטיקה של הגאוסיאן: נזכור שהמונה קובע את רוחב הגאוסיאן, ואילו המכנה קובע את רוחבו.

• עבור $\ e^{-{\frac {x^{2}}{A}}}$ נקבל גאוסיאן ברוחב $\ {\sqrt {A}}$. במקרה שלנו, המכנה גדל עם הזמן, לכן עם הזמן גם הגאוסיאן של חבילת הגלים מתרחב. במילים אחרות, רוחב החבילה גדל.
• גם המונה גדל עם הזמן - כלומר, מדובר בחבילת גלים שלא רק מתרחבת, אלא גם נעה - מסקנה מתבקשת כשמדובר בחבורת גלים.

הסתברות: כזכור, פונקצית הגל מבטאת הסתברות, או יותר נכון - פונקצית הגל בריבוע. נזכור שעבור מספר מרוכב $\ a+ib$ מתקיים: $\ \left|a+ib\right|^{2}=a^{2}+b^{2}$.
נקבל:

$\ \left|\psi \left(x,t,\right)\right|^{2}=A^{2}\left({\frac {\pi ^{2}}{\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left|\exp \left\{-{\frac {\left(x-v_{0}t\right)^{2}}{4\left(\alpha +i\beta _{0}t\right)\hbar ^{2}}}\right\}\right|^{2}$
תזכורת עבור העלאת האקספוננט בריבוע: עבור $\ \gamma =a+ib$, מתקיים:
$\ \left|e^{\gamma }\right|^{2}=e^{\gamma }\cdot e^{\gamma ^{*}}=e^{a+ib}e^{a-ib}=e^{2a}$. לכן, במקרה שלנו, נקבל:
$\ \left|\psi \left(x,t,\right)\right|^{2}=A^{2}{\frac {\pi }{\left(\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\cdot \exp \left\{-{\frac {\alpha \left(x-v_{0}t\right)^{2}}{2\left(\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}\right)\hbar ^{2}}}\right\}$

נסמן: $\ \Delta x(t)$ = רוחב הגאוסיאן בזמן $\ t$. ולפי התזכורת שרשמנו למעלה לגבי גודל זה, נקבל שמתקיים: $\ \Delta x(t)\simeq \hbar {\sqrt {\frac {\alpha ^{2}+\beta _{0}^{2}t^{2}}{\alpha }}}$.
נציב את $\ \beta _{0}={\frac {1}{2m\hbar }}$, ונקבל:
$\ \Delta x(t)=\hbar {\frac {\alpha ^{2}+{\frac {t^{2}}{2m\hbar }}}{\alpha }}=\hbar \left({\frac {\alpha ^{2}}{\alpha }}+{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)=\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)$. נציב כעת $\ t=0$, ונקבל: $\ \Delta x(0)=\alpha$. ומכאן:
$\ {\frac {\Delta x(t)}{\Delta x(0)}}={\frac {\hbar \left(\alpha +{\frac {t^{2}}{2m\hbar \alpha }}\right)}{\alpha }}=\left[1+\left({\frac {t}{2m\hbar \alpha }}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}$

ההרצאה הקודמת: הרצאה מספר 4

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 6