פיזיקה קוונטית/חזרה כללית בנושא אלגברה

דף זה מכיל חזרה על מספר מושגים באלגברה ובנושאים כללים במתמטיקה. אין מטרת דף זה ללמד את החומר מראשיתו ועד סופו, אלא רק לרענן את הזכרון. למי שרוצה ללמוד נושאים אלה לעומק מומלץ לקחת את הקורס באלגברה לינארית (כאן יהיה קישור!)

כמתים וסימונים

• כמתים: לכל: $\ \forall$, קיים: $\ \exists$, שייך ל: $\ \in$, לא שייך ל: $\ \not \in$.
  

למשל, המשפט האהוב על כולנו "לכל אפסילון קיים דלתא" ייכתב באופן הבא:

$\ \left(\forall \varepsilon \right),\ \left(\exists \delta \right)$.

• סימון הגרירה: אם קיום התנאי $\ A$ גורם לקיום התנאי $\ B$, אנו אומרים ש- $\ A$ גורר את $\ B$, וכותבים:

$\ A\Rightarrow B$

• "כך ש" יסומן בנקודתיים $\ :$ או ב- $\ |$. למשל, את ההגדרה: "לכל אפסילון גדול מאפס קיימת דלתא גדולה מאפס כך שאם $\ \left|x-x_{0}\right|<\delta$, אזי: $\ \left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon$", נכתוב באופן הבא:

$\ \left(\forall \varepsilon >0\right),\ \left(\exists \delta >0\right):\left|x-x_{0}\right|<\delta \ \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon$

• סימון לסכימה: $\ \sum$: נניח שנתונים לנו $\ n$ איברים $\ x_{1},x_{2},x_{3},....x_{n}$, ואנחנו רוצים למצוא את הסכום של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}$.

• סימון לכפל: $\ \prod$: נניח שנתונים לנו $\ n$ איברים $\ x_{1},x_{2},x_{3},....x_{n}$, ואנחנו רוצים לחשב את המכפלה של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\times ...\times x_{n}$.

חבורה

הגדרה: חבורה G היא קבוצה (=אוסף של איברים) עם פעולה בינארית $\ *$, המקיימת:

1. אסוציאטיביות (קיבוץ): $\ \forall a,b,c\in G,\ \left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)$
2. קיום איבר יחידה: $\ \exists e\in G:\ \forall g\in G,\ e*g=g*e=g$
3. קיום איבר הופכי: $\ \forall g\in G,\ \exists g^{-1}\in G\ :\ g*g^{-1}=g^{-1}*g=e$

הערות:

• נהוג לסמן את החבורה עם הפעולה באופן הבא: $\ \left(G,*\right)$ היא החבורה $\ G$ עם הפעולה $\ *$.
• מתכונה מס' 2 נובע שקבוצה ריקה אינה יכולה להוות חבורה.
• נאמר על חבורה שהיא אבלית (נשתמש לעתים גם בשמות קומוטטיבית וחילופית) אם מתקיים:

$\ \forall a,b\in \mathbb {F} ,\ a*b=b*a$

באופן כללי, תכונה זו לא מתקיימת בחבורה!

• במילים "קבוצה עם פעולה בינארית" מתחבאת, גם תכונת הסגירות:

$\ \forall a,b\in G,\ a*b\in G$

(אם תכונה זו אינה מתקיימת, הקבוצה אינה חבורה).

שדה

הגדרה: שדה הינו קבוצה $\ \mathbb {F}$ של איברים (במקרה של פיזיקה קוונטית האיברים הם מספרים מרוכבים), ובעלת שתי פעולות בינאריות (במקרה של פיזיקה קוונטית - חיבור $\ +$ וכפל $\ *$), המקיימת:

1. $\ \mathbb {F}$ מהווה חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור.
2. הקבוצה $\ \mathbb {F} \backslash \left\{0\right\}$ (כלומר קבוצת כל האיברים בשדה 'פרט לאיבר האפס', המהווה את איבר היחידה ביחס לפעולת החיבור) מהווה חבורה אבלית ביחס לפעולת הכפל.
3. דיסטריבוטיביות (פילוג): $\ \forall a,b,c\in \mathbb {F} ,\ a*\left(b+c\right)=a*b+a*c$

הערות:

• האיברים בשדה נקראים "סקלרים", ויסומנו לרוב באותיות יווניות קטנות: $\ \alpha ,\ \beta$ וכולי.
• תכונה מספר 3 ייחודית למבנים שיש בהם 2 פעולות (כגון חוגים ושדות), מאחר והיא מתייחסת לשילוב בין שתיהן. בחבורה, למשל, לא יכולה להתקיים תכונה כזו (כי בחבורה יש פעולה אחת בלבד).
• שילוב של תכונה מספר 3 ביחד עם תכונות הקומוטטיביות לחיבור ולכפל נותן לנו את התכונה הבאה:
  $\ \forall a,b,c\in \mathbb {F} ,\ \left(b+c\right)*a=a*b+a*c=a*c+a*b$
• נוח לחשוב על שדה כעל הכללה של הקבוצות המוכרות לנו של המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים, שכל אחת מהן מהווה שדה.

מרחב וקטורי

הגדרה: חבורה אבלית $\ (V,+)$ תקרא מרחב וקטורי (בקיצור: מ"ו) מעל שדה $\ \mathbb {F}$ אם קיימת פעולה $\ *$ בין כל איבר מ-$\ \mathbb {F}$ לבין כל איבר מ-$\ V$ הנקראת כפל בסקלר המקיימת:

1. סגירות לכפל בסקלר: $\ \forall \alpha \in \mathbb {F} ,v\in V,\ \alpha *v\in V$.
2. פילוג 1: $\ \forall \alpha \in \mathbb {F} ,v_{1},v_{2}\in V,\ \alpha *\left(v_{1}+v_{2}\right)=\alpha *v_{1}+\alpha *v_{2}$.
3. פילוג 2: $\ \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,v\in V,\ \left(\alpha +\beta \right)*v=\alpha *v+\beta *v$.
4. אסוציאטיביות: $\ \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,v\in V,\ \left(\alpha *\beta \right)*v=\alpha *\left(\beta *v\right)$. שימו לב להבדל בפעולת הכפל בתוך הסוגריים מצד שמאל של השיוויון (כפל בין שני סקלרים) לבין זו שבצד ימין של השיוויון (כפל סקלר בוקטור).
5. סקלר היחידה: היחידה $\ 1\in \mathbb {F}$ מקיימת: $\ \forall v\in V,\ 1*v=v*1=v$.

• האיברים במרחב הוקטורי נקראים "וקטורים" ומסומנים ע"י אותיות לטיניות קטנות: $\ u,v,w$ וכולי. לעיתים, כאשר רוצים להדגיש את העובדה שמדובר בוקטור, מוסיפים חץ קטן מעל האות: $\ {\vec {u}},{\vec {v}}$ וכולי. בספרות נוהגים לרוב לכתוב וקטור באות עבה: $\ \mathbf {u} ,\mathbf {v}$ וכולי.

טרנספורמציה (העתקה) לינארית ועוד

צירוף לינארי

הגדרה: נתונה קבוצה של וקטורים $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$. צירוף לינארי (צ"ל) שלהם הינו איבר מהצורה הבאה: $\ \alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\cdots +\alpha _{n}v_{n}$, כאשר $\ \alpha _{i}\in \mathbb {F}$, כלומר סקלרים בשדה (היכולים, כולם או חלק מהם, להיות אפס).
איבר כזה נקרא צירוף לינארי, מאחר וכל איברי המרחב (=הוקטורים) מופיעים בחזקה 1, כלומר בצורה לינארית (אין אף כפל של וקטור בוקטור).

תלות לינארית

הגדרה: קבוצה של וקטורים $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ (עבור $\ n\in \mathbb {N}$ כלשהו) תקרא תלויה לינארית (ת"ל) אם קיימים קבועים $\ \left\{\alpha _{i}\right\}_{i=1}^{n}\subseteq \mathbb {F}$ שלא כולם אפס כך שמתקיים: $\ \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}*v_{i}=0$.
בצורה דומה, קבוצה של וקטורים $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ (עבר $\ n\in \mathbb {N}$ כלשהו) תקרא בלתי תלויה לינארית (בת"ל) אם: $\ \forall i\in \left\{1,2,\dots ,n\right\}:\alpha _{i}=0\ \Leftarrow \sum _{i=1}^{n}\alpha _{!}*v_{i}=0$. במילים אחרות, אם הצירוף הלינארי היחיד שנותן אפס הוא הצירוף הטריוויאלי שבו כל הסקלרים הם אפס.

טרנספורמציה (העתקה) לינארית

הגדרה: העתקה $\ T:V_{1}\rightarrow V_{2}$ (כאשר $\ \ V_{1},V_{2}$ מרחבים וקטוריים) תקרא טרנספורמציה לינארית אם מתקיים:

1. $\ \forall u,v\in V_{1},\ T\left(u+v\right)=T\left(u\right)+T\left(v\right)$.
2. $\ \forall \alpha \in \mathbb {F} ,\ v\in V_{1},\ T\left(\alpha v\right)=\alpha T\left(v\right)$.

• ניתן לכתוב שתי תכונות אלה גם באופן הבא:

$\ \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\ u,v,\in V_{1},\ T\left(\alpha v+\beta u\right)=\alpha T\left(v\right)+\beta T\left(u\right)$.

• תכונה זו נקראת, למרבה ההפתעה, "לינאריות".

הגדרה: אופרטור לינארי אינו אלא העתקה לינארית. לעיתים, מעדיפים את השימוש במילה "אופרטור", על מנת להדגיש את העובדה שמתבצעת פעולה, ויש כאלו ששומרים את המילה "אופרטור" להעתקות לינאריות ממרחב וקטורי מסויים לעצמו.

בסיס

הגדרה: קבוצה של וקטורים $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ (עבור $\ n\in \mathbb {N}$ כלשהו) במרחב וקטורי $\ V$ מעל שדה $\ \mathbb {F}$ תיקרא קבוצה פורשת אם לכל $\ v\in V$ (כלומר לכל וקטור במרחב) קיימים $\ \left\{\alpha _{1},\alpha _{1},\cdots \alpha _{n}\right\}\subseteq \mathbb {F}$ כך שמתקיים: $\ v=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{1}*v_{i}$. במילים אחרות, אם כל וקטור במרחב יכול להיכתב כצירוף לינארי של איברי הקבוצה הנ"ל.
הגדרה: קבוצה של וקטורים $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ (עבור $\ n\in \mathbb {N}$ כלשהו) במרחב וקטורי $\ V$ מעל שדה $\ \mathbb {F}$ תקרא בסיס אם היא בלתי תלויה ופורשת.

במרחבים וקטורים מתקיימת התכונה כי כל שני בסיסים הם מאותה עוצמה (סופית או אינסופית), ולכן עוצמתו של בסיס מהווה תכונה של המרחב ושל השדה שמעליו הוא מוגדר, המכונה המימד שלו מעל השדה.

מטריצה

הגדרה

מטריצה הינה טבלה של מספרים. המשמעות של המטריצה הינה: ייצוג של אופרטור לינארי בבסיס מסויים (ר' להלן).

דוגמה

דוגמה לייצוג וקטור בבסיסים שונים:
המרחב הוקטורי שלנו: $\ v=\mathbb {R} ^{2}\left(=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \right)$, ונתונים שני בסיסים:
$\ B_{1}=\left\{e_{1}={1 \choose 0},e_{2}={0 \choose 1}\right\}$ ו- $\ B_{2}=\left\{f_{1}={1 \choose 0},f_{2}={1 \choose 1}\right\}$. נרצה לייצג את הוקטור $\ v_{1}={a \choose b}$.

פתרון הדוגמה

• ייצוג באמצעות הבסיס $\ B_{1}$:

$\ v_{1}=a*e_{1}+b*e_{2}=a*{1 \choose 0}+b*{0 \choose 1}={a \choose b}$.

• ייצוג באמצעות הבסיס $\ B_{2}$:

$\ v_{1}=\left(a-b\right)*f_{1}+b*f_{2}=\left(a-b\right)*{1 \choose 0}+b*{1 \choose 1}={a-b \choose 0}+{b \choose b}={a \choose b}$.

עד כאן חלקה הראשון של החזרה. מכאן ואילך, מתחיל החלק השני, 
אותו רצוי לקרוא רק כאשר מגיעים בחומר לשלב של מרחבי הילברט.

מרחב הילברט

מכפלה פנימית

הגדרה: יהא $\ V$ מ"ו מעל $\ \mathbb {C}$. העתקה $\ {\begin{matrix}\left\langle \ ,\ \right\rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {C} \\\left(v_{1},v_{2}\right)\longmapsto \left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle \end{matrix}}$ תקרא מכפלה פנימית (מכ"פ או מ"פ) אם מתקיים:

1. חיוביות: לכל $\ u\in V$ מתקיים: $\ \left\langle u,u\right\rangle \geq 0$, וכן $\ u={\vec {0}}\Leftrightarrow \left\langle u,u\right\rangle =0$ (שימו לב להבדל שבין וקטור האפס $\ {\vec {0}}$ לבין סקלר האפס $\ 0$!)
2. לינאריות ברכיב הראשון:
   $\ \forall u,v_{1},v_{2}\in V,\ \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} ,\ \left\langle \lambda _{1}v_{1}+\lambda _{1}v_{2},u\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle v_{1},u\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle v_{2},u\right\rangle$
3. הרמיטיות: $\ \forall v_{1},v_{2}\in V,\langle v_{1},v_{2}\rangle =\left(\langle v_{2},v_{1}\rangle \right)^{*}$, כאשר הסימן $\ *$ בצידו הימני של השיוויון מסמן צמוד קומפלקסי.

הערות:

• לתכונה מס' 3 קוראים בפיזיקה, מסיבה כזו או אחרת "אנטי לינאריות". ההגדרה שהובאה כאן הינה ההגדרה המדויקת מבחינה מתמטית, אך מעתה ואילך נשתמש, בקורס זה, במינוח "אנטי לינאריות".
• מתוך תכונה מס' 1 ניתן להסיק, שהתוצאה של מכ"פ של וקטור עם עצמו הינה ממשית (שכן אין שום משמעות לאי-שיוויון במספרים מרוכבים).
• מסקנה חשובה עבור מכ"פ: הרמיטיות בגורם השני: $\ \forall u,v_{1},v_{2}\in \ V,\ \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C}$ מתקיים:

$\left\langle u,\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}\right\rangle =\lambda _{1}^{*}\left\langle u,v_{1}\right\rangle +\lambda _{2}^{*}\left\langle u,v_{2}\right\rangle$

ושוב, בקורס זה נהפוך את ההגדרות: בשם מכפלה פנימית נקרא לפונקציה כנ"ל שמקיימת לינאריות בגורם השני, ואנטי לינאריות בגורם הראשון.

• מ"ו שמוגדרת עליו מכפלה פנימית נקרא "מרחב מכפלה פנימית" (ממכ"פ או מכ"פ).

נורמה, מטריקה

הגדרה: יהא $\ V$ מ"ו. פונקציה $\ \left\|\ \right\|:V\rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \left\{0\right\}$ תקרא נורמה אם היא מקיימת:

1. $\ \forall \alpha \in \mathbb {F} ,\ v\in V,\ \left\|\alpha v\right\|=\left|\alpha \right|\left\|v\right\|$
2. $\ \forall v\in V,\ v={\vec {0}}\Leftrightarrow \left\|v\right\|=0$ (גם כאן, שימו לב להבדל בין וקטור האפס לבין סקלר האפס!)
3. אי שוויון המשולש: $\ \left\|u+v\right\|\leq \left\|u\right\|+\left\|v\right\|$

הגדרה: יהא $\ V$ מרחב מכפלה פנימית. הפונקציה שמוגדרת על ידי

$\ {\begin{matrix}\left\|\ \right\|:&V&\rightarrow &\mathbb {R} ^{+}\cup \left\{0\right\}\\&v&\mapsto &{\sqrt {\langle v,v\rangle }}\end{matrix}}$

נקראת הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית. ניתן להוכיח כי היא מקיימת את שלוש התכונות שמגדירות נורמה. ההפך אינו נכון: לא כל נורמה ניתנת להגדרה באמצעות מכפלה פנימית.

הגדרה: מטריקה הינה העתקה $\ \left(\ ,\ \right):A\times A\rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \left\{0\right\}$ (כאשר $\ A$ קבוצה כלשהי) המקיימת:

1. $\ \forall a,b,\in A,\ \left(a,b\right)=\left(b,a\right)$
2. $\ \forall b,a\in A,\ \left(a,b\right)=0\Leftrightarrow a=b$
3. אי שוויון המשולש: $\ \forall a,b,c\in A,\left(a,c\right)\leq \left(a,b\right)+\left(b,c\right)$

• נשים לב כי מטריקה הינה מה שאנו קוראים בדרך כלל "מרחק".
• כל נורמה מגדירה מטריקה: $\ (a,b)=\|a-b\|$. ההפך אינו נכון - לא לכל מטריקה קיימת נורמה המשרה אותה.

הגדרה: מרחב מטרי הינו מרחב שמוגדרת עליו מטריקה.

מרחב שלם

הגדרה חשובה שעשויה להיות לא מוכרת לחלקכם: בחדו"א מגדירים סדרת קושי בתור סדרה שהמרחק בין איבריה שואף לאפס. נגדיר מרחב שלם כמרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת על פי המטריקה המוגדרת בו.

לבקיאים בחדו"א ודאי זכור משפט לפיו כל סדרת קושי מתכנסת, אך המשפט הזה הוכח רק עבור $\ \mathbb {R}$ תוך שימוש באקסיומת השלמות שהוא מקיים, ובאופן כללי אינו נכון.

דוגמא למרחב לא שלם: ניקח את הקטע $\ I=\left(0,1\right]$, ואת הסידרה $\ a_{n}={\frac {1}{n}}$. אם המרחב שלנו הוא כל $\ \mathbb {R}$, אנחנו יודעים שהסידרה הזו מתכנסת, וגבולה הוא אפס. אבל, אם המרחב שלנו הוא הקטע $\ I$, הרי שגבולה של הסידרה $\ a_{n}$ לא נמצא בו! לכן, הקטע $\ I$ אינו מרחב שלם.

הגדרה: מרחב וקטורי $\ V$ יקרא מרחב הילברט, אם:

1. מוגדרת עליו מכפלה פנימית (שמשרה נורמה. חשוב לזכור כי כל מכפלה פנימית משרה נורמה על המרחב שהו היא מוגדרת).
2. $\ V$ מרחב שלם ביחס לנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית שלו.

בקורס זה, כל המרחבים בהם נתעסק, בפרט המרחבים הנוצרים ע"י פונקציות הגל וע"י סופרפוזיציות (הרכבות) שלהן, הם מרחבי הילברט.

חזרה לעמוד ראשי של פיזיקה קוונטית